En la teoría ZFC, el axioma de regularidad garantiza que no hay una secuencia descendente infinita. Pero parece que he encontrado una. Definir $x_n=\{n, x_{n+1}\}$ entonces es obvio que $x_0\ni x_1\ni x_2\ni\cdots$ . Y para ver por qué no hay contradicción con el axioma. Tomemos cualquier conjunto $x_i$ sólo hay dos elementos $i$ y $x_{i+1}$ . Ninguno de ellos se cruza con $x_i$ .
¿Qué tiene de malo esta construcción?
El Axioma de regularidad dice que, para cualquier conjunto no vacío $y,$ hay un elemento $x\in y$ tal que $x\cap y=\emptyset.$ Este axioma, en presencia de los otros axiomas de Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (en particular el Esquema de sustitución del axioma ), implica que no hay un descenso infinito
$\in$ -secuencia.
Porque supongamos que hay una secuencia $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ tal que $x_{n+1}\in x_n$ para cada $n.$ Entonces, por Sustitución, existiría el rango de esa secuencia, es decir, el conjunto $y=\{x_n:n\in\omega\}.$ Así, $y$ es un conjunto no vacío, y $y\cap x\ne\emptyset$ para cada $x\in y,$ desde $x_{n+1}\in y\cap x_n.$ Pero esto contradice el Axioma de la Regularidad.
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