Una pregunta sencilla con una paradoja

Question

"Tengo tres cajas, cada una con dos compartimentos.

• Uno tiene dos lingotes de oro

• Uno tiene dos barras de plata

• Uno tiene un lingote de oro y otro de plata"

• Eliges una caja al azar y abres un compartimento al azar.

• Si ese lingote es de oro, ¿cuál es la probabilidad de que el otro lingote de la caja sea también de oro?

Este es un viejo problema que encontré en un viejo periódico.

Así que simplemente miré la pregunta y dije " $\frac 12$ " fácil de hacer.

Mis primeros pensamientos: $1$ en $2$ oportunidad

• Como sólo hay dos cajas con un lingote de oro, razoné, debo haber elegido una de ellas.

• Como uno tiene un lingote de oro y el otro tiene un lingote de plata en el otro lado, la probabilidad de que tenga otro lingote de oro es $\frac 12$ .

$$Right?$$

¡¡¡Bueno, de todos modos, he comprobado las soluciones en la parte inferior de la página del periódico y dice que me he equivocado!!! Según el periódico, la respuesta real es $\frac 23$ oportunidad. Sin embargo, el periódico no ofrecía ninguna explicación, por lo que me quedé perplejo. Así que volví a la mesa de dibujo y me devané la cabeza para ver si podía conjurar el número $\frac 23$ del problema. No hubo suerte.

Así que esta es mi pregunta: ¿podría alguien explicar la respuesta?

Cualquier sugerencia de orientación o ayuda sería muy apreciada. Gracias de antemano :)

Answer 1

Supongamos que cada uno de los lingotes de oro tiene el número 1, 2 o 3 estampado respectivamente en su parte inferior, donde no se puede ver, y que los lingotes de oro con el número 1 y 2 están en la misma caja.
Eliges una caja al azar y tras mirar en un compartimento ves un lingote de oro.
Sabiendo que has elegido una caja que contiene un lingote de oro, hay tres posibilidades.

1) El lingote de oro tiene un 1 estampado, por lo que ha elegido la caja que contiene los dos lingotes de oro.
2) El lingote de oro tiene un 2 estampado, por lo que ha elegido la caja que contiene los dos lingotes de oro.
3) El lingote de oro tiene un 3 estampado, por lo que ha elegido la caja que contiene un lingote de oro y otro de plata.

Los tres sucesos anteriores son igualmente probables, por lo que la probabilidad de que la otra barra de la caja sea también de oro es $\frac{2}{3}$ .

Answer 2

Si eliges una caja, y sin abrir ningún compartimento te dicen que "Hay oro dentro de esta caja", entonces sí, hay un $1/2$ posibilidad de que sea de oro doble. Pero eso no es lo que está sucediendo.

Eliges una caja y, en lugar de preguntar "¿tiene oro esta caja?", abres un compartimento y lo compruebas. Eso significa que si has elegido la caja con uno de cada, hay un $1/2$ posibilidad de que abra una plata y reinicie todo el juicio. Eso significa que donde originalmente había probabilidad $1/2$ de éxito, tiras la mitad de los fracasos. Eso hace que la probabilidad de ganar $2/3$ .

Answer 3

La probabilidad que describe este evento $P(A)$ es elegir una caja que tenga dos lingotes de oro. Tenemos tres formas de elegir un compartimento que tenga un lingote de oro, y dos formas de elegir un compartimento tal que el segundo compartimento también tenga lingote de oro.

La razón por la que hay dos vías, y no una, es porque este problema supone, por supuesto, que la elección del compartimento es independiente. Me gusta pensar que hay dos maneras de abrir la caja con las dos barras de oro, donde la solución, $P(A)=\frac{2}{3}$ surge.

Answer 4

La solución mecánica

En este caso el conjunto de posibles eventos elementales es $$\Omega=\{(f,u),(f,l),(s,u),(s,l),(th,u),(th,l)\},$$

donde $u$ se refiere a "superior", "l" a "inferior" y $f,s,th$ se refieren a "primero", "segundo" y "tercero", respectivamente. Por ejemplo $(f,u)$ significa que se abre el compartimento superior de la primera caja.

Las probabilidades de estos eventos elementales son iguales, todos son $\frac{1}{6}$ . La probabilidad condicional buscada es

$$P(\{(f,u),(f,l)\} \mid \{(f,u),(f,l),(th,u)\})=$$ $$=\frac{P(\{(f,u),(f,l)\}\cap \{(f,u),(f,l),(th,u)\})}{P(\{(f,u),(f,l),(th,u)\})}=$$ $$=\frac{P(\{(f,u),(f,l)\})}{P(\{(f,u),(f,l),(th,u)\})}$$ $$=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$$

Answer 5

La única manera de conseguir también el segundo lingote de oro es si has seleccionado la primera caja (la que tiene dos oros). Tenga en cuenta que como ambas barras de oro se consideran diferentes, en realidad hay 2 formas en las que puede conseguir ambas barras de oro. Y el tercer caso es cuando usted ha elegido originalmente la caja con un oro y una plata. De ahí que sean 2/3. Todo el asunto gira en torno al hecho de que la caja que tiene dos oros puede producir dos resultados diferentes cuando las dos barras seleccionadas son de oro.