Ecuación parabólica con coeficientes variables

Question

Quiero resolver esta ecuación $$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = 2ct\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}$$ con datos iniciales $u(x,0) = \varphi (x)$ y $u(0,t) = 0$ donde $x \in [0, + \infty )$

Al principio, quería utilizar la Transformación de Fourier y lo conseguí en el caso $x \in ( - \infty , + \infty )$ la solución es $$u(x,t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi t} }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - \frac{{{{(x + c{t^2} - \xi )}^2}}}{{2t}}}}\varphi (\xi )d\xi } $$ pero en este caso no podemos utilizar el método de las imágenes para obtener una solución en un semi-intervalo a partir de la solución en un todo-intervalo...

Otra forma - utilizando una sustitución $y = x + c{t^2}$ . Obtenemos la ecuación ${u_t} = \frac{1}{2}{u_{xx}}$ pero con la condición de límite móvil $$u(c{t^2},t) = 0$$ y creo que no es más fácil de resolver que la ecuación original.

¿Alguna idea? Gracias por cualquier ayuda.

P.D. Perdón por mi pésimo inglés

Answer 1

Una pista:

Dejemos que $\begin{cases}p=x+ct^2\\q=t\end{cases}$ ,

Entonces $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial p}\dfrac{\partial p}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\dfrac{\partial q}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial p}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}\right)=\dfrac{\partial}{\partial p}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}\right)\dfrac{\partial p}{\partial x}+\dfrac{\partial}{\partial q}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}\right)\dfrac{\partial q}{\partial x}=\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial u}{\partial p}\dfrac{\partial p}{\partial t}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\dfrac{\partial q}{\partial t}=2ct\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial q}$

$\therefore2ct\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial q}=2ct\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial q}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}$

Dejemos que $u(p,q)=P(p)Q(q)$ ,

Entonces $P(p)Q'(q)=\dfrac{1}{2}P''(p)Q(q)$

$\dfrac{2Q'(q)}{Q(q)}=\dfrac{P''(p)}{Q'(q)}=-s^2$

$\begin{cases}\dfrac{Q'(q)}{Q(q)}=-\dfrac{s^2}{2}\\P''(p)+s^2P(p)=0\end{cases}$

$\begin{cases}Q(q)=c_3(s)e^{-\frac{qs^2}{2}}\\P(p)=\begin{cases}c_1(s)\sin ps+c_2(s)\cos ps&\text{when}~s\neq0\\c_1p+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-\frac{qs^2}{2}}\sin ps~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-\frac{qs^2}{2}}\cos ps~ds=\int_0^\infty C_1(s)e^{-\frac{ts^2}{2}}\sin((x+ct^2)s)~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-\frac{ts^2}{2}}\cos((x+ct^2)s)~ds$