Supongamos que $X$ sigue una distribución exponencial con un parámetro positivo $\lambda$ y $Y$ es una variable aleatoria continua positiva, independiente de $X$ . Entonces, ¿cuál es la distribución condicional de $X-Y$ dado $X > Y$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere la distribución de $X\vert X>Y$ o el falta de memoria . A continuación, ver si es fácil de cambiar a $X-Y\vert X>Y$
Pero aquí Y también es una variable aleatoria. ¿Importa?
Si sabes $\mathbb{P}(A \vert B)$ y $B$ es en sí misma una variable aleatoria, entonces se puede encontrar la probabilidad de $\mathbb{P}(A)$ como distribución compuesta o utilizando el ley de la probabilidad total
$$\mathbb{P}(A) = \sum_{\forall B} \mathbb{P}(A \vert B)\mathbb{P}(B) $$
si $ \mathbb{P}(A \vert B) = f(A)$ es una función independiente de $B$ entonces se puede sacar de la suma y se obtiene
$$\mathbb{P}(A) = \sum_{\forall B} \mathbb{P}(A \vert B)\mathbb{P}(B) = f(A)\sum_{\forall B} \mathbb{P}(B) = f(A) $$
Del mismo modo, cuando $\mathbb{P}(X-Y\vert X>Y, Y)$ es independiente de $Y$ entonces sabes $\mathbb{P}(X-Y\vert X>Y)$
