Demostrando este resultado trigonométrico

Question

Problema : Si $\frac{\sin^4\theta}{x}+\frac{\cos^4\theta}{y}=\frac{1}{x+y}$ demuestran que.., $\frac{\sin^{2m+2}\theta}{x^m}+\frac{\cos^{2m+2}\theta}{y^m}=\frac{1}{(x+y)^m}$ .

Mi intento : He observado que si ambos lados de la ecuación dada se elevan a la potencia de m, la H.R. de la ecuación resultante coincide con la H.R. del resultado que hay que demostrar. Después tenemos que simplificar la H.L. de la expresión resultante para que coincida con la H.L. del resultado que hay que demostrar.

$\frac{\sin^4\theta}{x}+\frac{\cos^4\theta}{y}=\frac{1}{x+y}$

$\implies(\frac{\sin^4\theta}{x}+\frac{\cos^4\theta}{y})^m=(\frac{1}{x+y})^m$

$\implies(\frac{y\sin^4\theta+x\cos^4\theta}{xy})^m=\frac{1}{(x+y)^m}$

$\implies\frac{(y\sin^4\theta+x\cos^4\theta)^m}{x^my^m}=\frac{1}{(x+y)^m}$

Mi problema : Estoy atascado en este paso y no puedo entender cómo proceder, es decir, cómo simplificar $(y\sin^4\theta+x\cos^4\theta)^m$ . Por favor, ayuda. Una continuación de mi método, así como métodos alternativos (excepto la inducción matemática) son bienvenidos.

Answer 1

La condición da $$\frac{\sin^4\theta}{x}+\frac{\cos^4\theta}{y}=\frac{(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2}{x+y}$$ o $$\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}\right)\sin^4\theta-\frac{2\sin^2\theta\cos^2\theta}{x+y}+\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}\right)\cos^4\theta=0$$ o $$\left(\frac{\sin^2\theta}{x}-\frac{\cos^2\theta}{y}\right)^2=0,$$ que da $$\frac{x}{y}=\tan^2\theta.$$ Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\sin^{2m+2}\theta+\left(\frac{x}{y}\right)^m\cos^{2m+2}\theta=\left(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}+1}\right)^m$$ o $$\sin^{2m+2}\theta+\tan^{2m}\theta\cos^{2m+2}\theta=\left(\frac{\tan^2\theta}{\tan^2\theta+1}\right)^m,$$ que es $$\sin^{2m}\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\sin^{2m}\theta.$$ ¡Hecho!