Demostración de que Beck-Chevalley es válido para los adjuntos de la derecha si es válido para los adjuntos de la izquierda

Question

Estoy mirando el libro de Bart Jacob "Lógica Categórica y Teoría de Tipos". La demostración del lema 1.9.7 se deja como ejercicio para el lector. A mí no me parece tan fácil, y he tenido un éxito bastante limitado al demostrarlo. Aquí está el enunciado del lema:

Consideremos un fibrado para el que cada functor de reindexación tiene tanto una izquierda $\coprod$ y a la derecha $\prod$ adjunto. El Beck-Chevalley se mantiene para los coproductos $\coprod$ si y sólo si es válida para los productos $\prod$ .

Si fuera capaz de demostrar la conjetura sería capaz de demostrar la conjetura más simple de que, dado $\coprod \dashv \Delta \dashv \prod$ entonces la unidad de $\coprod \dashv \Delta$ es iso si y sólo si el conit de $\Delta \dashv \prod$ es iso. Esto es una consecuencia del lema cuando se considera el fibrado dividido donde la categoría base es sólo una flecha, y esa flecha tiene functor de reindexación $\Delta$ . Así que decidí practicar la prueba eventual concentrándome primero en ese caso y tratando de generalizar después.

Si $\eta$ la unidad de $\coprod \dashv \Delta$ , es iso, y $\pi$ es el condado de $\Delta \dashv \prod$ entonces mirando las identidades de los triángulos para este último vemos rápidamente que $\pi \Delta$ es un epi dividido, por lo que también lo es $\pi \Delta \coprod$ pero como $\eta : 1 \cong \Delta \coprod$ vemos $\pi$ también es un epi dividido, por lo que $\prod$ es fiel. Para completar la prueba más sencilla hay que demostrar $\prod$ completo, $\pi$ un mónico, o una serie de otras cosas equivalentes, ninguna de las cuales he podido relacionar con la hipótesis. ¿Puede alguien ayudarme con la conjetura original o con la más sencilla?

Answer 1

En realidad es mucho más fácil que eso. Recordemos que los adjuntos son únicos hasta el isomorfismo único, y que el adjunto de un compuesto es el compuesto de los adjuntos. Por lo tanto, si tenemos un cuadrado de retroceso $$\begin{array}{ccc} \bullet & \stackrel{z}{\to} & \bullet \\ {\scriptstyle x} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle y} \\ \bullet & \stackrel{w}{\to} & \bullet \end{array}$$ y tenemos el isomorfismo Beck-Chevalley $\Sigma_x z^* \cong w^* \Sigma_y $ y tomando los adjuntos derechos de todo, obtenemos el isomorfismo de Beck-Chevalley $y^* \Pi_w\cong \Pi_z x^*$ .

Por cierto, dada una adjunción $F \dashv G \dashv H$ es cierto que la unidad de $F \dashv G$ es un isomorfismo natural si y sólo si el conit de $G \dashv H$ es un isomorfismo natural: en efecto, tenemos $G F \dashv G H$ Así que $G F$ es isomorfo a $\mathrm{id}$ si y sólo si $G H$ es isomorfo a $\mathrm{id}$ .