demostrar que $a^2+b^2+c^2+2abc+3\ge (1+a)(1+b)(1+c)$

Question

dejar $a,b,c>0$ . Demostrar que $$a^2+b^2+c^2+2abc+3\ge (1+a)(1+b)(1+c)$$

Por el $$(1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+bc+ac+abc$$ basta con mostrar $$a^2+b^2+c^2+abc+2\ge a+b+c+ab+bc+ac$$ ¿Cómo?

Answer 1

Dejemos que $a+b+c=3u$ , $ab+ac+bc=3v^2$ y $abc=w^3$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$a^2+b^2+c^2+2+abc\geq a+b+c+ab+ac+bc$$ o $f(v^2)\geq0$ , donde $$f(v^2)=9u^2-6v^2+w^3+2-3u-3v^2.$$

Pero $f$ es una función lineal,

que dice que es suficiente para probar nuestra desigualdad para un valor extremo de $v^2$ ,

lo que ocurre para el caso de igualdad de dos variables.

Como nuestra desigualdad es simétrica, podemos suponer $b=c$ y es suficiente para demostrar que $$a^2+(b^2-2b-1)a+b^2-2b+2\geq0,$$ para lo cual basta con demostrar que $$(b^2-2b-1)^2-4(b^2-2b+2)\leq0$$ para $b^2-2b-1\leq0$ o $$(b-1)^2(b^2-2b-7)\leq0,$$ lo cual es obvio.

¡Hecho!

De otra manera.

Desde $$\prod_{cyc}((a-1)(b-1))=\prod_{cyc}(a-1)^2\geq0,$$ podemos suponer que $$(a-1)(b-1)\geq0$$ o $$c(a-1)(b-1)\geq0$$ o $$abc\geq ac+bc-c.$$

Por lo tanto, queda por demostrar que $$a^2+b^2+c^2+2+ac+bc-c\geq ab+ac+bc+a+b+c$$ o $$a^2+b^2+1-ab-a-b+(c-1)^2\geq0$$ o $$\frac{1}{2}((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2)+(c-1)^2\geq0.$$ ¡Hecho de nuevo!

Answer 2

$$a,b,c \ge 0$$

$$a^2+b^2+c^2+2abc+3\ge (1+a)(1+b)(1+c) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\ge (1-a)(1-b)(1-c)$$

Lo cual es obvio.