Límite complejo sin L'hopital's

Question

Estoy tratando de resolver el límite de la siguiente función compleja como $z\to0$ . Conozco la regla de L'hopital pero debo encontrar la respuesta sin usar ese método. El límite es:

$$\lim_{z \to 0} \dfrac{e^z+z\log (z)}{1-z^2\arg(z)}$$

Sé que el problema será con el $\log (z)$ término desde $\log(0)$ no está definido. ¿Alguien puede ver lo que debería hacer aquí?

Answer 1

$$L=\lim_{z \to 0} \dfrac{e^z+z\log (z)}{1-z^2\arg(z)}$$ $$L=\dfrac{\displaystyle\lim_{z\to0}e^z+z\log (z)}{\displaystyle\lim_{z\to0}1-z^2\arg(z)}$$ $$L=\dfrac{\displaystyle 1+\lim_{z\to0}z\log (z)}{\displaystyle\lim_{z\to0}1-z^2\arg(z)}$$ Para el límite superior, realice el cambio de variables $z\mapsto\frac1z$ $$L=\dfrac{\displaystyle 1+\lim_{z\to\infty}\frac1z\log (\frac1z)}{\displaystyle\lim_{z\to0}1-z^2\arg(z)}$$ $$L=\dfrac{\displaystyle 1-\lim_{z\to\infty}\frac{\log (z)}z}{\displaystyle\lim_{z\to0}1-z^2\arg(z)}$$ Ya que para cualquier $a>0$ existe un $Z$ tal que para todo $z>Z$ es cierto que $z>a\log z$ . $$L=\dfrac{1}{1-\displaystyle\lim_{z\to0}z^2\arg(z)}$$ $$L=\dfrac{1}{1-\displaystyle\lim_{z\to0}z^2\cdot\lim_{z\to0}\arg(z)}$$ Desde $\arg$ como un codominio de $[0,2\pi]$ . Tenga en cuenta que la notación $[a,b]$ significa que es un valor desconocido que se garantiza que está entre $a$ y $b$ $$L=\dfrac{1}{1-0\cdot[0,2\pi]}$$ $$L=\dfrac{1}{1-[0,0]}$$ $$L=1$$