Encuentre m para el cual $\sin(x)+\cos(2x)=m$ tiene soluciones, no hay derivadas

Question

Dado $f:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}\,f(x)=\sin(x)+\cos(2x)$ encontrar los valores de $m$ para las que las ecuaciones $f(x)=m$ tiene soluciones. El problema es fácil de resolver con las derivadas, pero se necesita algo de tiempo y cálculos cuidadosos para llegar a la solución $\left[-2,\dfrac 98\right]$ .

Me pregunto si no hay una solución más rápida y ordenada, sin derivados.

Answer 1

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$ por lo que nuestra expresión es $$-2y^2 + y + 1$$ para $y = \sin x$ . Desde $-1 \le y \le 1$ nos preguntamos los posibles valores de la cuadrática anterior para $y$ en ese rango. Ahora sólo hay que considerar la parábola asociada, digamos $z = -2y^2 + y + 1$ en el $yz$ -Avión.

Sé que es al revés, con eje de simetría $y = 1/4$ , por lo que el valor máximo $$z = -2(1/4)^2 + 1/4 + 1 = 9/8.$$ A continuación, compruebe los valores límite $y = \pm 1$ para encontrar un valor mínimo $z = -2$ en $y = -1$ . Por continuidad (es decir, por el teorema del valor intermedio) el rango es $[-2,9/8]$ .

Answer 2

Utilice la fórmula del ángulo doble $\cos(2x)=1-2 \sin^2(x)$ multiplicar por $-8$ y completar el cuadrado. Tenemos \begin{eqnarray*} 16 \sin^2(x) -8 \sin(x) +1 =9-8m \\ (4 \sin(x)-1)^2=9-8m \end{eqnarray*} El LHS tiene un valor mínimo de $0$ dando un límite superior de $\frac{9}{8}$ para m y el LHS tiene un valor máximo de $25$ dando un límite inferior de $-2$ para m. Así que $m \in \color{blue}{[-2,\frac{9}{8} ]}$ .