Cómo se muestra para una distribución $T$ y una función de prueba $\varphi,~~T'[\varphi]\equiv -T[\varphi']\;?$

Question

Para una función generalizada función $T,$ definimos $$T'[\varphi] ~~ T[']~~\forall \mathcal D().$$

donde $\mathcal D(\Omega)$ denota el espacio de la función de prueba.

No entiendo cómo han deducido esta relación. ¿Alguien puede decirme cómo demostrar la relación?

Answer 1

Como se ha mencionado en algunos comentarios, esta es la definición de derivada distributiva. En general, si $\alpha \in \mathbb{N}^n$ es un multiíndice, la derivada distributiva de orden $\alpha$ de una distribución $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ se define colocando

$(\star)$ $\displaystyle \langle D^\alpha T, \varphi \rangle =(-1)^{|\alpha|} \langle T, D^\alpha \varphi \rangle$ $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$

Sigue siendo una distribución, por lo que $D^{\alpha}T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ y es esencialmente una generalización de la regla de integración por partes en $\mathbb{R}^n$ .

Ahora, cada $f \in L_{loc}^1(\Omega)$ determina una distribución $T_f$ definido por

$\displaystyle T_{f}(\varphi):= \int_{\Omega} f \varphi dx$ $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$

Entonces, por ejemplo, si $f \in C^1(\mathbb{R})$ tenemos $f' \in C(\mathbb{R})$ y es localmente integrable, entonces podemos definir la distribución

$\displaystyle T_{f'}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}} f'(x) \varphi(x) dx = f(x)\varphi(x) \vert_{|x|=\infty} - \int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi'(x) dx = -T_{f}(\varphi')$

desde $\varphi$ desaparece en el infinito. Ahora $(\star)$ es la generalización de estos hechos en el espacio de distribución.