Sobre la diferenciación $F(x)=\ln(2x)$

Question

Si diferenciamos $F(x)=\ln(2x)$ obtendremos $F'(x) =\dfrac2{2x}$ después del acceso directo $F'(x)=\dfrac1x$ ¿verdad?

Ahora bien, si integramos $F'(x)$ obtendremos $F(x)=\ln(x)$ pero también $F(x)=\ln(2x)$ . Esto significa que $\ln(2x)=\ln(x)$ . ¿Qué ha pasado?

Answer 1

Cuando se integra, hay una constante arbitraria $C$ añadido. Así que sólo se obtiene $$\ln(2x)=\ln(x)+C.$$

Answer 2

Pero $$F(x)=\ln(2x) =\ln 2 + \ln x$$ Así que cuando se integra de nuevo se obtiene $$\ln x + C $$ donde la constante $C$ debe ser el $\ln 2$ plazo.

Answer 3

Las antiderivadas de $1/x$ ¡no están determinados de forma única! Vienen dados por

$$\ln x +C.$$

Forthermore $ \ln (2x)= \ln 2 + \ln x.$

¿Puede continuar?