Básico: ¿Por qué la pendiente y el intercepto en la regresión se consideran variables aleatorias?

Question

Lo siento si esto es demasiado básico.

En una regresión OLS dada por

$y=ax+b$

$b$ interceptar, $a$ la pendiente.

Entonces $a,b$ no son números sino variables aleatorias.

Encuentro esto confuso ya que empiezo con puntos de datos $(x_1,y_1),(x_2,y_2),..(x_n,y_n) ; x_i \neq x_j $ cuando $i \neq j $ . Entonces encontramos la línea de mejor ajuste, que nos daría los números reales $a,b$ para que parezcan constantes y no variables (aleatorias).

La razón por la que se llaman variables es que estoy seleccionando sólo uno de los muchos valores posibles $y_j$ para una variable determinada $x_j$ ?

Answer 1

Los estimadores de la pendiente y el intercepto son variables aleatorias porque son funciones de las respuestas, que son variables aleatorias.

Las nuevas muestras darían lugar a estimaciones diferentes (porque -incluso suponiendo que se fijen $x$ se tendrían diferentes realizaciones de cada uno de los n conjuntos correspondientes de $Y$ 's)

Si planteamos la situación para que las variables y sus realizaciones sean un poco más distintas, la situación puede quedar más clara; tomando la $x$ como fijo (para simplificar la exposición), tiene $$Y_i = ax_i + b + \epsilon_i$$ donde $\epsilon_i$ es el término de error. Se extrae una muestra con ese conjunto de $x$ y se observa un conjunto correspondiente de $y$ correspondiente a una realización particular de la $\epsilon_i$ . Llamemos a ese conjunto de observados $y$ valores $\mathbf{y}^{(1)}$ . Repetimos nuestro procedimiento de muestreo en el mismo conjunto de valores x y obtenemos un nuevo conjunto de respuestas, $\mathbf{y}^{(2)}$ y seguimos, hasta $\mathbf{y}^{(k)}$ decir. Cada realización tendrá su propia pendiente e intercepción, por lo que la realización $j$ tiene $a^{(j)}$ e interceptar $b^{(j)}$ que será una función de $\mathbf{y}^{(j)}$ .