Cadena de campos que son Galois sobre todos los subcampos

Question

¿Hay algún ejemplo de campos $F_1$ , $F_2$ y $F_3$ tal que $\mathbb{Q}\subset F_1\subset F_2\subset F_3$ tal que $[F_3:\mathbb{Q}]=8$ y cada campo es Galois sobre todos sus subcampos pero $F_2$ no es Galois sobre $\mathbb{Q}$ ?

Sé de $F_3$ es Galois sobre $\mathbb{Q}$ entonces será automáticamente Galois sobre todos los demás subcampos, pero eso es todo. ¿Cuál es un buen campo para investigar aquí? Gracias.

Answer 1

Hay infinidad de ejemplos del tipo de Gerry, ya que la cuestión se puede plantear en términos de teoría de grupos como sigue: queremos el grupo de Galois $G$ de $F_3/\mathbb{Q}$ para tener una cadena de subgrupos $G=H_0>H_1>H_2>H_3=\{1\}$ tal que cada uno de ellos es normal en todos los mayores excepto en $H_2$ que no debería ser normal en $G$ .

Claramente, $G$ tiene que ser no abeliana. Sólo hay dos grupos no abelianos de orden 8, el grupo diédrico $D_8$ y el grupo de cuaterniones $Q_8$ . $G=D_8$ con $H_2$ una involución no central lo hace, como muestra el ejemplo de Gerry. Así, cualquier extensión diédrica $F_3/\mathbb{Q}$ de orden 8 tendrá tal cadena de subcampos. En $Q_8$ no existe tal cadena, ya que el único subgrupo de orden 2 es central y por tanto normal en $G$ . Así que $D_8$ es la única posibilidad.

Answer 2

$${\bf Q}\subset{\bf Q}(\sqrt2)\subset{\bf Q}(\root4\of2)\subset{\bf Q}(\root4\of2,i)$$