Intuición sobre las distancias de la línea de flotación

Question

Así que estoy tratando de entender mejor cómo encontrar la distancia más corta entre dos líneas. Ahora sé que si encuentro dos planos paralelos que contengan estas dos rectas, y luego encuentro la distancia entre los dos planos tengo la respuesta. Mi pregunta es realmente por qué la distancia de los dos planos es la distancia más corta entre dos líneas inclinadas? Por favor, no me muestre una fórmula que sea resultado de esta lógica, sino que derive esta lógica.

Gracias de antemano

Answer 1

En primer lugar, considere dos líneas paralelas distintas. Determinan un único plano que las contiene a ambas. A partir de un punto de una de las rectas se traza una recta perpendicular en el plano y esa recta corta a la otra recta paralela en otro punto. La distancia entre los dos puntos es, pues, la distancia entre las dos rectas paralelas. En segundo lugar, consideremos dos rectas que no son paralelas. Si se cruzan, entonces las dos rectas determinan un único plano que las contiene a ambas y el punto de intersección muestra que la distancia más corta entre las dos rectas es cero.

En segundo lugar, viene un clave idea. Dada una recta cualquiera y un punto cualquiera que no esté en esa recta, la distancia más corta desde el punto a la recta es a lo largo de la perpendicular caída desde el punto a la recta porque en un triángulo rectángulo la hipotenusa es más larga que cualquiera de los otros dos lados. Motivado por esto, e invirtiendo los papeles, dado un punto cualquiera sobre una recta dada, considere el lugar geométrico de todos los puntos tales que la recta determinada por él y el punto dado es perpendicular a la recta dada. El lugar geométrico es un plano perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto dado. punto dado. Obsérvese que dada una recta cualquiera, todos los planos perpendiculares a ella son paralelos entre sí. También dado un plano cualquiera, todas las rectas perpendiculares a él son paralelas entre sí.

En tercer lugar, considera dos líneas dadas que no son paralelas y no se cruzan. Ellas se llaman inclinación líneas. Consideremos ahora las dos familias de planos perpendiculares de las dos rectas. Las dos familias son disjuntas ya que toda recta perpendicular a un plano deben ser paralelas entre sí, pero las dos rectas dadas no son paralelas. Por lo tanto, la elección de un plano de cada familia conduce a un par de planos que se cruzan. La intersección de dicho par es una recta. Todas estas rectas en uno de los planos son paralelas entre sí y, por tanto, todas las rectas son paralelas entre sí. Esta familia de rectas paralelas determina una familia de planos paralelos. Cada una de las Cada una de las dos rectas oblicuas está contenida en un único miembro de la familia de planos paralelos. Ahora, elige una de las dos rectas oblicuas y proyecta perpendicularmente todos los puntos de la otra recta sobre el plano que contiene la primera recta oblicua. Estos puntos forman una línea que interseca la primera línea oblicua en un único punto. Este punto y el punto desde el que se proyectó en la otra línea oblicua son los puntos de mayor aproximación de las dos líneas oblicuas. Además, como la proyección fue perpendicular, la distancia entre los dos planos es la distancia entre las dos líneas.

Obsérvese que el clave La idea se aplica también a dos planos paralelos. ¿Cuál es la distancia entre dos de estos planos? Escoge un punto cualquiera del primer plano y la distancia más corta entre éste y un punto del segundo plano se obtiene utilizando el punto base de la recta perpendicular caída al segundo plano.Forman un par mínimo de puntos. Esta distancia mínima es la misma para cualquier punto que elijamos porque la situación es invariable por traslación. Podemos usar un movimiento rígido para mover cualquier par mínimo a cualquier otro par mínimo porque forman un rectángulo y los lados opuestos de cualquier rectángulo tienen longitudes iguales.

Un detalle menor. Dado un plano y un punto que no está en el plano, ¿cómo determinar el punto del plano más cercano al primer punto? Una forma es elegir una línea que pase por el primer punto no paralela al plano, de manera que intersecte al plano en un punto. Dibuja una línea en el plano a través de este punto y determina un segundo plano con el primer punto. Dibuja una circunferencia en el segundo plano con centro en el primer punto y que pase por el segundo punto. Esta circunferencia corta a la recta en un tercer punto siendo la recta una cuerda del círculo. Determina ahora, a partir del primer punto, el punto más cercano a la mediatriz de los dos puntos del plano utilizando la idea clave. Este punto más cercano es ahora también el punto más cercano en el plano.

Answer 2

La distancia más corta de un punto a una línea se mide a lo largo de una perpendicular a esa línea, por lo que dado un par de líneas oblicuas $\mathscr l$ y $\mathscr m$ el punto más cercano $M$ de $\mathscr m$ a $\mathscr l$ estará en alguna línea perpendicular a $\mathscr l$ y de forma similar para el punto más cercano $L$ de $\mathscr l$ a $\mathscr m$ . La línea $\overline{LM}$ es por tanto perpendicular a ambos $\mathscr l$ y $\mathscr m$ . El plano perpendicular $P$ a $\overline{LM}$ a través de $L$ contiene $\mathscr l$ y el plano perpendicular $Q$ a través de $M$ contiene $\mathscr m$ . Estos dos planos son claramente paralelos, y la distancia entre ellos es $LM$ que también es igual a la distancia entre las líneas.