¿Puede alguien demostrar el principio de los momentos a partir de las leyes de Newton?

Question

¿Es posible probar rigurosamente la Principio de los momentos de sólo las tres leyes de Newton?

Esta es mi formulación de las leyes/axiomas Que alguien me diga amablemente si me equivoco.

1. Las partículas siempre siguen la inercia (velocidad constante) si no hay fuerza.
2. Definir impulso de una partícula $i$ como $V_i(t) \cdot M_i(t)$ , donde $M_i(t) > 0$ es un número real positivo ( masa ) y $V_i(t)$ es un elemento de $\mathbb{R}^3$ definida como la velocidad de $i$ . Entonces un fuerza actuando en $i$ en el momento $t \geq 0$ se define como $$F_i(t) = M_i\prime(t) \cdot V_i(t) + M_i(t) \cdot \dot V_i(t)$$ con diferenciación bien definida sobre la variable real $t \in [0, \infty)$ .
3. Pongamos nombre a las partículas $i \in \{1, 2, \dots, N\}$ . Consideremos un sistema cerrado de la $N$ partículas: por lo que el sistema se define por (i) sus masas $M_i(t) \in (0, \infty)$ (ii) velocidades $V_i(t) \in \mathbb{R}^3$ y (iii) algunos posiciones fijas en un momento dado $T_i \geq 0$ , $r_i(T_i) \in \mathbb{R}^3$ . La tercera ley establece que $$\forall t \forall i, \ \text{ if } F_i(t) \neq (0,0,0), \text{ then } \exists j \text { s.t. } F_j(t) = -F_i(t)$$

En realidad, como nota al margen, parece que la tercera ley es la única "Ley" de la naturaleza, la única suposición empírica sobre el mundo empírico. La primera ley es una consecuencia trivial de la segunda, y la segunda parece ser simplemente una deinición de "velocidad", "masa", "momento" y "fuerza" (de ahí mi negrita fuente facial). -- ¿Me equivoco?

Quiero demostrar rigurosamente el Principio de los Momentos: Una rotación en el sentido de las agujas del reloj causada por una fuerza (perpendicular) de $Bg$ Newtons en el lado derecho de un punto de pivote enfocado a una distancia de 1 metro, necesita ser equilibrado por la fuerza del lado izquierdo (perpendicular) de $Ag$ Newtons posicionado $d$ metros desde el pivote, de manera que $A \cdot d = B$

En otras palabras, refiriéndose a mi maravilloso dibujo, demuestre que si el balancín (una varilla uniforme, rígida, fuerte e inelástica) está equilibrado, entonces $A \cdot d = B$ .

Answer 1

Hay un par de maneras diferentes de demostrarlo. Personalmente, la forma que considero más sencilla es utilizar las leyes de Newton para derivar la ecuación $$\mathbf{\dot{L}} = \mathbf{\Gamma^{ext}}$$ donde $\mathbf{L}$ es el momento angular total del sistema y $\mathbf{\Gamma^{ext}}$ es el par externo que actúa sobre el sistema. El resultado que buscas viene trivialmente después de requerir $\mathbf{\dot{L}}=\mathbf{0}$ . No tengo tiempo para derivar esto yo mismo en este momento, pero probablemente puedes encontrar una derivación en algún lugar en línea, y trataré de añadir una más tarde cuando tenga tiempo. Me gusta este enfoque porque no requiere jugar con las fuerzas de restricción, aunque probablemente está un poco más alejado de la intuición que la otra forma de hacerlo.

La otra forma de hacerlo sería utilizar las leyes de Newton tal cual e introducir las fuerzas que las dos masas y el pivote deben ejercer entre sí para mantener ciertas relaciones geométricas entre ellas. En particular, si centramos un sistema de coordenadas polares en el punto de pivote, queremos que nuestras fuerzas sean tales que las restricciones $$\dot{\theta_A} = \dot{\theta_B} = 0$$ $$\dot{r_A} = \dot{r_B} = 0$$ $$F_{fulcrum} = 0$$ siempre están satisfechos. De nuevo, intentaré añadir una prueba completa más adelante si tengo más tiempo. Sin embargo, ¡espero que estos esbozos de pruebas ayuden!