Caracterización de las singularidades aisladas de $\frac{z}{e^{z} - z + 1}$

Question

Pretendo caracterizar las singularidades aisladas de $f(z) := \frac{z}{e^z - z + 1}$ que se define en algún subconjunto abierto $\mathbb{C} \backslash f^{-1}({0}) \subset \mathbb{C}$ . Las posibles singularidades son sólo los ceros de $g(z) := e^z - z + 1$ Por lo tanto, el enfoque debe ser encontrar esos ceros, que es en realidad la tarea difícil.

En este momento, lo que sé es lo siguiente:

• Como no hay ceros de $g$ mentir $2\pi i \mathbb{Z}$ si suponemos que $z_{0} \in \mathbb{C}$ es un cero de $g$ entonces, por supuesto, tendremos $\lim\limits_{z \to z_{0}} |f(z)| = \infty$ y así $z_{0}$ será un polo de $f$ . Utilizando entonces la regla de L'Hôpital aplicada a $\lim\limits_{z \to z_{0}} (z-z_{0})^n f(z)$ comprobamos que el polo deberá ser de orden $1$ .

• $g$ tiene ceros, lo que descubrí separando la función $g(z) = 0$ en dos ecuaciones, relativas a las partes real e imaginaria de $g$ y luego trazando las funciones resultantes para ver que se cruzan.

Mi pregunta es entonces: ¿Podemos ver analíticamente que $g$ ¿tiene ceros?

Este es un ejercicio del libro de Reinhold Remmert, "Teoría de las funciones complejas" (línea c) en el ejercicio 1 de la página 309) y creo que debo resolverlo analíticamente. También hay que tener en cuenta que, a estas alturas del libro, hay muchas herramientas del análisis complejo que todavía no se pueden utilizar, concretamente el cálculo de residuos y las series de Laurent.

¡Gracias de antemano por toda la ayuda!

Answer 1

La función g tiene un número infinito de ceros.
Supongamos lo contrario, y enumeremos todos sus ceros ( $z_{1}$ , $z_{2}$ , ... $z_{n}$ ) con multiplicidad.
Set $$P(z) = \prod_{k=1}^{k=n}(z-z_{k})$$ (si g no tiene ceros en absoluto se establece $P(z) = 1$ ) y $$h(z) = \frac { g(z) } {P(z)}$$ Entonces h(z) es holomofico en toda la llanura y no tiene ceros, por lo tanto puede ser levantado.
Es decir, existe una función entera, digamos f(z), tal que h(z) = $e^{f(z)}$
Ahora bien, tenga en cuenta que $$|h(z)| <= e^{2|z|}$$ para |z| suficientemente grande y esto implica que $$ |f(z)| <= 2|z| $$ para |z| suficientemente grande. En palabras, f(z) debe ser un polinomio de grado a lo sumo 1, digamos $f(z) = az + b $ .
Tomando todo esto, demostramos que si g(z) tiene un número finito de ceros entonces, para algún $z_{1},z_{2}, ..., z_{n}, a, b$ tenemos $$g(z) = e^{az+b}\prod_{k=1}^{k=n}(z-z_{k})$$ o $$e^{z} - z + 1 = e^{az+b}\prod_{k=1}^{k=n}(z-z_{k})$$ o $$ P(z) = \prod_{k=1}^{k=n}(z-z_{k}) = \frac {e^{az+b}} {e^{z} - z + 1} $$ La última identidad no puede ser cierta.
Es decir, se puede ver que el coeficiente a debe ser igual a 1 (de lo contrario un polinomio crecería como exponencial en el infinito) pero si a = 1 entonces P(z) está acotado pero no es constante.

Answer 2

Si $g(z)$ no tuviera ceros, por la factorización de Weierstrass, tendríamos que sostener que existe una función entera $h(z)$ tal que $$e^{h(z)}=e^z-z+1\,,$$ o de forma equivalente $$e^z(e^{h(z)-z}-1)=1-z\,.$$ De ello se desprende que $h(z)\ne z$ (es decir, $h$ no es la función de identidad) y $h(1)-1=2\pi in_0$ para algún número entero $n_0$ ; además, toda la función no constante $h_1(z):=h(z)-z$ debe nunca asumir cualquier valor en el conjunto discreto $\{2\pi in:n\in\mathbb{Z}\setminus\{n_0\}\}$ de lo contrario, el lado izquierdo de arriba tendrá al menos dos ceros mientras que el lado derecho sólo tiene un cero, lo que contradice el Pequeño Teorema de Picard.

Answer 3

En realidad, el ejercicio sólo consiste en clasificar esas singularidades aisladas y, en el caso de los polos, encontrar su orden. No se hace referencia a verlas realmente.

Si $z_0$ es un cero de $g$ ¿puede ser un múltiplo de cero? Si lo fuera, entonces sería un cero de $g'$ también. Pero $g'(z_0)=e^{z_0}-1$ . Y $g(z_0)=0\iff e^{z_0}-z_0+1=0$ . Así que, $e^{z_0}$ es igual a $1$ y también a $z_0-1$ lo que significa que $z_0=2$ . Pero $g(2)=e^2-1\ne0$ . Por lo tanto, $g$ no tiene ceros múltiples y por tanto cada singularidad aislada de $f$ es un simple poste.