Si $b\mid ca$ entonces $b\mid a$ . ¿Es esto cierto?

Question

Mi prueba: Queremos demostrar $b\mid a$ es decir $a = bn$ para algún número entero $n$ . Desde $b\mid ca$ , $ca = bm$ para algún número entero $m$ . Sustituyendo por $a$ nos da $c(bn) = bm \Rightarrow b(cn) = bm\dots$

Después de eso me quedo atascado. Tengo la sensación de que esto puede ser falso.

Answer 1

Una pista:

$$4\mid 2\cdot 6\implies 4\mid 6...?$$

Answer 2

Falso . Tome $b=2$ , $a=3$ y $c=0$ . O $c=2$ . O $c$ cualquier número par.

¿Qué es? verdadero es: si $(b,c)=1$ (es decir $b$ y $c$ son relativamente primos) y si $b\mid ac$ entonces $b\mid a$ .

Answer 3

Tienes razón, en que esto es falso. En su prueba, usted está asumiendo lo que quiere demostrar:

Usted escribió "Sustituir por $a$ nos da $c(bn)=bm$ ," donde utilizó la ecuación $a=bn$ para su sustitución. Pero $a=bn$ es exactamente ¡lo que quiere demostrar!

Answer 4

Tienes razón, la proposición es falso :

Para demostrar que una afirmación es falsa Utiliza la prueba por contraejemplo (para lo cual sólo hay que dar un contraejemplo, ¡y ya está!)

Considere los contraejemplos obvios en los que $b \mid c$ pero $b \not\mid a$ En estos casos, todavía tendríamos $b\mid ca$ , pero sólo porque $b \mid c$ .

Considere, por ejemplo $b = 2, c = 4, a = 5$ : $b\mid ca$ pero $b\not\mid a$ .

Más sencillo aún, el contraejemplo $b = 2, c = 2, a = 3$ es suficiente.