Cómo demostrar que la forma cerrada de un integrante del

Question

Cómo demostrar la siguiente identidad: $${1\over 2\pi}\int_{0}^{2\pi}\ln(1-2r\cos x+r^{2})\,dx=2\ln r,\text{ where } r\gt 1.$$

Me pidió que usara el siguiente resultado para demostrarlo: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f_{1n}f_{2n}\cdots f_{nn}}=\exp\left\{{1\over{b-a}}\int_a^b \ln f(x)\,dx\right\}$$ siempre $f\in C[a,b]$, $f\gt 0$, y $f_{vn}=f(a+v\delta_n), \delta_n={{b-a}\over n}$

Es fácil demostrar la pista por la comprobación de la definición de integral de Riemann,pero estaba atrapado en el uso de ella para demostrar la identidad original.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Sugerencia A partir de sus propias definiciones, (tomar el logaritmo de ambos lados de la pista y el uso de $[a,b]=[0,2\pi]$): $$ \begin{split} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \ln \left( 1-2r\cos(x)+r^2 \right) dx &= \lim_{n \to \infty} \ln \left( \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1-2r\cos(2\pi k/n) + r^2 \right)} \right) \end{split} $$