Una variante de una serie de potencias

Question

Parece que, si $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=a$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n a_k x^k$ converge para $|x|<1$ por el teorema de Cauchy-Hadamard.

¿Puedo demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n a_{k,n} x^k$ converge para $|x|<1$ si $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}=a_k$ y $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=a$ ?

En concreto, me gustaría argumentar:

que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n a_{k,n} x^k$ converge a una constante positiva para $0<x<1$ , si $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}=a_k>0$ para todos $k$ ;

que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n a_{k,n} x^k$ converge a cero para $|x|<1$ , si $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}=a_k=0$ para todos $k$ .

Answer 1

Contraejemplo: Sea $a_{k,n}=2^k$ para $k\le n$ y que $a_{k,n}=1$ para $k\gt n$ . Para el segundo problema, utilice $0$ en lugar de $1$ .

Para un comportamiento peor, utilice $k!$ en lugar de $2^k$ .