Por qué un gráfico especificado es suave

Question

Quiero demostrar que el conjunto $M=\{(x^2,y^2,z^2,xy,xz,yz): (x,y,z)\in S^2\}$ es una variedad lisa de dimensión $2$ construyendo explícitamente un atlas suave . Mi libro procede de la siguiente manera (con paráfrasis y una notación diferente):

Utilizando el plano proyectivo real $S^2/\{p,-p\}$ llegaríamos a un gráfico de este tipo para $M$ como $$\Phi:\mathbb D^2\to M$$ $$(x,y)\mapsto (x^2,y^2,1-x^2-y^2, xy,xz,yz),$$ donde $\mathbb D^2$ es el disco de la unidad abierta.

Este es claramente un mapa suave. Pero su inversa (que es igual a $(m_1,m_2,...,m_6)\mapsto (\sqrt m_1, \sqrt m_2)$ ) no es suave. Así que creo que esto no define realmente un gráfico. ¿Falta algún punto?

Answer 1

Obsérvese que las cuatro primeras coordenadas del mapeo dan un $4$ -a- $1$ mapeo cerca del origen. Tenemos que utilizar las dos últimas coordenadas para obtener un $1$ -a- $1$ mapeo. En particular, el teorema de la función inversa nos dice que $$\phi(x,y) = \big(x\sqrt{1-x^2-y^2},y\sqrt{1-x^2-y^2}\big) = (v,w)$$ tiene una inversa suave en una vecindad del origen, aunque no podamos escribir la fórmula explícita. Entonces se obtiene una inversa local suave de su cartografía tomando $\phi^{-1}\circ\pi$ , donde $\pi$ es la proyección sobre las dos últimas coordenadas. Ambos mapas son suaves.