En el curso de mi investigación he encontrado algunas integrales para las que me gustaría tener respuestas de forma cerrada:
$$\int_{c- i \infty}^{c+ i \infty} \frac{1}{z-1} \frac{8 \pi^4 \cot{ \big( \frac{\pi}{6} z \big)}}{\sqrt{3} (\cosh{2 \pi a} - \cos{2 \pi z})} \ dz $$ y
$$\int_{c- i \infty}^{c+ i \infty} \frac{1}{z-1} \frac{16 \pi^4}{\big(1+2 \cos{ \big(\frac{\pi}{3} z\big)} \big) (\cosh{2 \pi a} - \cos{2 \pi z})} \ dz $$
Me preocupa la respuesta cuando $1 > Re(c) >0$ y $a > 0$ es una constante numérica conocida.
En ambos casos, la función racional arruina la periodicidad, pero sigue siendo lo suficientemente simple como para que parezca que podría haber una forma de calcularlas si se elige el contorno correcto. Lamentablemente, ninguna de las dos funciones decae lo suficientemente rápido a lo largo de la línea real como para poder cerrar el contorno con un semicírculo. Gracias al decaimiento exponencial a lo largo del eje real, he intentado trabajar con contornos de caja y encontrar 2 líneas verticales con una relación conocida entre las integrales a lo largo de esas líneas (por ejemplo, que sean iguales hasta algún factor conocido), pero ahora me he quedado sin buenas ideas.
También necesito calcular una integral similar que contenga sólo funciones trigonométricas:
$$\int_{c- i \infty}^{c+ i \infty} \frac{2 \pi^4 \sec{ \big( \frac{\pi}{2} z \big)} \cos{ \big( \frac{\pi}{6} z \big)}}{-\cosh{2 \pi a} + \cos{2 \pi z}} \ dz $$
con las mismas restricciones. Tiene un período de 12, pero no puedo averiguar cómo utilizar esto para calcular la integral.
