Cómo obtener la intensidad del campo magnético en el espacio cerca de un solenoide

Question

Estoy tratando de encontrar la intensidad del campo magnético a lo largo del eje de un solenoide.

Si conozco la intensidad del campo en el centro del solenoide, y conozco la distancia desde el centro del solenoide, ¿sería posible calcular la intensidad del campo a una distancia determinada a lo largo del eje?

Si esto es posible, ¿cómo podría hacerlo?

Editar: Así que busqué un poco más y encontré esto:

¿Funcionaría esto para encontrar la intensidad del campo magnético de un solenoide? (No estoy seguro de si es preciso utilizar una ecuación para un bucle de corriente, para el cálculo de un solenoide).

Answer 1

El campo a lo largo del eje de un finito solenoide se puede encontrar integrando la fórmula que encontró (para un bucle de corriente) de $z_1$ a $z_2$ . La corriente en un "trozo" de anchura $dz$ es sólo $n I \, dz$ , por lo que tenemos $$d B_z = \frac{\mu_0 n I}{2} \frac{R^2}{(z^2 + R^2)^{3/2}} dz \Rightarrow B_z = \frac{\mu_0 n I R^2}{2} \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$$ Dejaré la forma exacta de esta integral como ejercicio para el lector, pero no puedo dejar de incluir lo siguiente: resulta que el resultado de esta integral se puede expresar de una forma geométrica bastante hábil. Dibuja una línea desde el punto de campo hasta el borde del solenoide en $z = z_1$ y llamamos al ángulo entre esta línea y el eje $\theta_1$ . Definir $\theta_2$ de forma similar. (Obsérvese que estos ángulos serán mayores que $\pi/2$ si $z_1 < 0$ o $z_2 < 0$ respectivamente). Entonces el campo magnético a lo largo del eje será proporcional a $(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ .

Si no estás en el eje, abandona toda esperanza. No estoy seguro de que exista una solución de forma cerrada; tal vez puedas escribir algo en términos de funciones elípticas (o integrales de las mismas), pero va a ser bastante desagradable. Mi instinto me dice que deberías utilizar técnicas de aproximación si estás un poco fuera del eje (es decir, una expansión en serie de potencias de los componentes de $\vec{B}$ junto con el hecho de que $\vec{B}$ es libre de rizos y divergencias en el solenoide), o técnicas numéricas si está significativamente fuera del eje.

Answer 2

Por supuesto. La respuesta que buscas es algo sorprendente.

Supongamos que el eje del solenoide coincide con el $z$ -eje de nuestro sistema de coordenadas. Haremos la aproximación de que el solenoide es infinitamente largo (en el experimento el solenoide probablemente no es infinitamente largo - pero esta suposición hace este cálculo más fácil, y es una aproximación bastante buena para el campo magnético real).

Supongamos que el solenoide está fuertemente enrollado, con $n$ vueltas por unidad de longitud. Suponemos que el solenoide está tan enrollado que la corriente $I$ que pasa por el cable se comporta esencialmente como si diera vueltas en círculo, paralelo a la $xy$ -plano en cada bobinado.

Además, digamos que el solenoide tiene un radio $R$ .

Si se define $s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ como la distancia del $z$ -eje, el campo magnético viene dado por:

$\mathbf{B} = \mu_{0} n I \mathbf{\hat{z}}\ \ $ para $s<R$

$\mathbf{B} = {0}\ \ $ para $s>R$

..... en cualquier lugar $\mu_{0}$ es una constante, la permeabilidad del espacio libre.

Es extraño, pero el campo magnético es constante (y apunta a lo largo del positivo $z$ -eje) dentro del solenoide. En el exterior del solenoide, el campo magnético es exactamente cero en todas partes.