Permutaciones de las ponderaciones de la cartera

Question

Tengo una cartera de 3 valores y quiero generar todas las permutaciones posibles de pesos de los valores. El peso único oscila entre 0 y 1,0 con aumento de 0,1: (0, 0.1, 0.2, ..., 0.9, 1.0) . La suma de todos los pesos tiene que ser igual a 1 y todos los pesos tienen que ser no negativos, por ejemplo si el primer peso es igual a 0,9 entonces el segundo [0.9, 0.1, 0.0] o el tercer peso tiene que ser 0,1 [0.9, 0.0, 0.1] .

¿Cómo puedo definir una fórmula matemática para calcular el número de todas las permutaciones con repeticiones? Ahora mismo, para calcular todas las permutaciones válidas, primero genero todas las permutaciones y luego descarto las que tienen una suma diferente a 1, pero este enfoque no funcionará para carteras con un número elevado de valores.

Answer 1

Comencemos con su ejemplo de tres tipos de valores con ponderaciones que son múltiplos de $0.1$ . Si tomamos $0.1$ como nuestra unidad, entonces debemos distribuir diez unidades entre los tres tipos de valores. Sea $x_i$ sea el número de unidades del $i$ de seguridad. Entonces $$x_1 + x_2 + x_3 = 10 \tag{1}$$ es una ecuación en los enteros no negativos.

Una solución particular de la ecuación corresponde a la colocación de dos signos de suma en una fila de diez unos. Por ejemplo, $$1 1 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1$$ corresponde a la solución $x_1 = 5$ , $x_2 = 3$ , $x_3 = 2$ y los pesos $0.5$ para la primera seguridad, $0.3$ para la segunda seguridad, y $0.2$ para la tercera seguridad, mientras que $$1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 +$$ corresponde a la solución $x_1 = 8$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 0$ y los pesos $0.8$ para la primera seguridad, $0.2$ para la segunda seguridad, y $0$ para la tercera seguridad.

El número de soluciones de la ecuación 1 es el número de formas en que se pueden colocar dos signos de suma en una fila de diez unos, que es $$\binom{10 + 2}{2} = \binom{12}{2}$$ ya que debemos seleccionar qué dos de las doce posiciones necesarias para diez unos y dos signos de adición se llenarán con signos de adición.

Generalización

Digamos que en su lugar está seleccionando $n$ tipos de valores, con ponderaciones que son múltiplos de $1/k$ . En ese caso, tomamos $1/k$ como nuestra unidad, por lo que tenemos un total de $k$ unidades. Por ejemplo, si $k = 10$ , entonces cada unidad es $0.1$ como en su ejemplo. Si $k = 100$ , entonces cada unidad es $0.01$ . Si dejamos que $x_i$ , $1 \leq i \leq n$ sea el número de unidades del $i$ de seguridad, entonces $$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n = k \tag{2}$$ es una ecuación en los enteros no negativos. Una solución particular corresponde a la colocación de $n - 1$ signos de adición en una fila de $k$ las. El número de soluciones de la ecuación 2 en los enteros no negativos es $$\binom{k + n - 1}{n - 1}$$ ya que debemos elegir qué $n - 1$ de la $n + k - 1$ puestos necesarios para $k$ y $n - 1$ Los signos de adición se llenarán de signos de adición.

Answer 2

Este es un estrellas y barras problema. Usted busca soluciones para $x+y+z=10$ con cada variable un número entero en $[0,10]$ . Añada $1$ a cada uno de ellos, así que está resolviendo $x'+y'+z'=13$ con cada variable en $[1,11]$ . Ahora imagina una fila de $13$ estrellas con lugares para las barras entre ellas. Colocarás dos barras para dividir $x'$ de $y'$ de $z'$ Así que está seleccionando dos lugares de $12$ . Hay ${12 \choose 2}=66$ formas de hacerlo

Answer 3

Número de formas de escribir n como suma de k enteros no negativos .

En la respuesta anterior, está escribiendo n como una suma de k enteros no negativos. Por lo tanto, relacionando su problema con esto, asumiría que tendrá que escribir 10 (=n) como una suma de j (=k) ( donde j es el número de valores) enteros no negativos (0-10). También te ha proporcionado un sitio para enumerar todas las permutaciones. Buena suerte.

Una vez que obtengas la lista, elimina todas las permutaciones en las que tengas 10 y divide el resto de las permutaciones por 10 para obtener el resultado deseado.

Answer 4

Podemos considerar la ecuación x + y + z = 10 donde x, y y z pueden tomar valores enteros que van de 0 a 10. Podemos paralelizar este problema con el siguiente: de cuántas maneras podemos permutar 12 objetos si 10 objetos son iguales y los otros 2 también son iguales. Consideremos 10 círculos y 2 separadores. A la izquierda del separador 1 tenemos círculos x, entre los 2 separadores tenemos círculos y, a la derecha del separador 2 tenemos círculos z. Por tanto, tenemos 12! /(10!*2!) Formas de resolver esta ecuación. Este razonamiento puede extenderse muy fácilmente a versiones más complicadas del mismo problema.