Demuestra que un cuadrado perfecto impar es congruente a $1$ módulo $8$

Question

¿Cómo podemos probar que cada cuadrado perfecto impar es congruente a $1$ módulo $8$?

Answer 1

Considera el grupo $$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{[1], [3], [5], [7]\} $$ bajo multiplicación módulo 8. Entonces $$[1]^2 =[3]^2 = [5]^2 = [7]^2 \equiv 1 \, \,\mathrm{ mod } \, 8.$$ Dado que cada entero impar está exactamente en una de estas clases de congruencia, cada entero impar al cuadrado es congruente a 1 módulo 8.