Demuestra que un cuadrado perfecto impar es congruente a $1$ módulo $8$

Question

¿Cómo podemos probar que cada cuadrado perfecto impar es congruente a $1$ módulo $8$?

Answer 1

Observa:

$({\pm 1})^2 \equiv ({\pm 3})^2 \equiv 1 \bmod 8 $

Answer 2

Un cuadrado perfecto impar tiene la forma $(2k+1)^2$. $$(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1$$ Dado que $k^2+k=k(k+1)$ siempre es par, $4(k^2+k)$ siempre es divisible por 8. Ahora se sigue que cada cuadrado impar es congruente a $1$ módulo $8.

En general, para cualquier entero $m,n$ tal que $m$ sea impar y $n>2$, $m^{2^{n-2}}$ es congruente a $1$ módulo $2^n$. Esto se sigue directamente del hecho de que $U(\mathbb{Z} /2^n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_{2^{n-2}}$.

Answer 3

Dado que el cuadrado de los números enteros pares e impares son pares e impares respectivamente, un cuadrado impar debe ser de la forma $(4k\pm 1)^2=16k^2\pm 8k+1=8(2k^2\pm k)+1$ para algún entero $k$.

Answer 4

Si $n^2$ es impar, entonces $n$ debe ser impar, por lo tanto $n=2k+1$. Ahora, $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$. Como $k$ y $k+1$ son enteros consecutivos, uno de ellos debe ser par (es decir, tiene un factor de $2$), por lo tanto $4k(k+1)\equiv0\pmod{8}$. Ahora está claro que $n^2\equiv1\pmod{8}$ para todos los enteros impares $n$.

Answer 5

Solo por diversión, estoy tratando de usar 3 en lugar de 2.

Un cuadrado perfecto impar es de la forma $(6k\pm 1)^2$ o $(6k+3)^2$ $= 36k^2\pm 12k+1$ o $36k^2+36k+9$.

$36k^2\pm 12k+1 = 12k(3k\pm 1)+1 $. Si $k$ es par, $8 | 12k$; si $k$ es impar, $3k\pm 1$ es par, así que $8 | 12(3k\pm 1)$.

$36k^2+36k+9 = 36k(k+1)+9 $ y $8 | 36k(k+1)+8$ ya que $k(k+1)$ es par.

No es tan simple, pero funciona.

Probablemente se pueda hacer que funcione para cualquier primo impar $p$ mirando $(2pk\pm 1,3,5,...,p)^2$.