Creo que es más ordenado expresar las distintas direcciones en términos de vectores unitarios. Podemos convertirlos en ángulos al final. Así que digamos que $\hat n_1$ y $\hat n_2$ son vectores unitarios perpendiculares a los ejes de las bobinas, y sea $\hat r$ sea un vector unitario que apunta desde el centro de la bobina 1 al centro de la bobina 2. Dado que las bobinas están separadas por una distancia que es grande en comparación con sus diámetros, voy a suponer que cada uno puede ser aproximado como un dipolo magnético.
El campo magnético producido por la bobina 1, en el lugar de la bobina 2, es $$ \vec B \propto {1\over D^3}[3(\hat n_1\cdot\hat r)\hat r-\hat n_1] $$ (Esta es una fórmula estándar para un campo dipolar. Ver un libro de texto como Griffiths. Ya que usted amablemente permitió una constante arbitraria que tenía que ser medida, estoy escribiendo proporcionalidades e ignorando las constantes aburridas).
La inductancia mutua está determinada por el flujo que atraviesa la bobina 2 debido a este campo. Debido a la gran separación, podemos suponer que el campo es aproximadamente constante en la ubicación de la bobina, por lo que esto es sólo $\vec B\cdot\vec A$ . Así que el flujo es simplemente proporcional a la componente de $\vec B$ que es normal para la segunda bobina. Es decir, $$ \Phi\propto \vec B\cdot\hat n_2\propto {1\over D^3}[3(\hat n_1\cdot\hat r)(\hat n_2\cdot \hat r)-\hat n_1\cdot\hat n_2]. $$
Como la inductancia mutua es proporcional al flujo, ésta es la respuesta que buscas. Para expresarlo en términos de los ángulos, supongo que tenemos $\hat n_1\cdot\hat r=\cos a$ y $\hat n_2\cdot\hat r=\cos b$ . El producto punto $\hat n_1\cdot\hat n_2=\cos c$ , donde $c$ es el ángulo entre los ejes de las bobinas. Así que creo que la respuesta final es $$ k D^{-3}[3\cos a\cos b-\cos c]. $$ Si todos los ejes se encuentran en un plano, entonces supongo que $c=a-b$ en cuyo caso la dependencia angular es algo así como $2\cos a\cos b-\sin a\sin b$ pero si las cosas pueden girar en las tres dimensiones, entonces $c$ no está determinada únicamente por las otras dos.
