No entiendo muy bien cómo el axioma de la separación resuelve la paradoja de Russell de forma totalmente satisfactoria (sin apoyarse en otros axiomas).
Veo que elimina la contradicción inmediata que produce la comprensión no restringida, pero parece que aún necesitamos más axiomas para garantizar que un conjunto bien formado $S$ nunca contendrá el conjunto de todos los elementos dados (de $S$ ) que no se contienen a sí mismos.
¿Es eso correcto?
La garantía de que tal conjunto no puede existir ya está dada por el argumento de la paradoja de Russell: su existencia lleva a una contradicción por lo tanto no puede existir.
El problema de la comprensión no restringida era que garantizaba que el conjunto existía, lo que causa un problema por las garantías conflictivas.
No creo que el esquema axiomático de la separación "resuelva" la paradoja de Russell en absoluto, sino que restringe la forma de utilizar los predicados para determinar conjuntos.
La paradoja no es más que una prueba de que no existe una correspondencia uno a uno entre predicados y clases: hay predicados que no definen una clase. Al escribir conjuntos como $\{x|p(x)\}$ que se entienda la correspondencia uno a uno. Por lo tanto, la teoría axiomática de conjuntos consiste en demostrar que los conjuntos existen y mostrar las reglas para crearlos. Si $A$ es un conjunto, entonces el conjunto $\{x\in A|p(x)\}$ nunca causará ningún problema, debido a las teorías.
Los axiomas se utilizan para demostrar que, bajo ciertas circunstancias, algunos conjuntos existen.
La paradoja de Russell muestra que no toda colección definible puede ser un conjunto. Así que tenemos que restringir qué tipo de colecciones definibles permitimos. El esquema del axioma de separación dice esencialmente que si $A$ ya es un conjunto, entonces toda subcolección definible de $A$ también es un conjunto.
Si repetimos la paradoja de Russell sobre un conjunto $A$ utilizando la Separación, entonces no obtenemos una contradicción. Obtenemos un teorema interesante:
Para cada conjunto $A$ hay un conjunto $B$ tal que $B\notin A$ .
Tienes razón.
La Paradoja de Russell expuso la inconsistencia de una propuesta de teoría formal de conjuntos de su época. Esta llamada ingenuo La teoría de conjuntos permitía derivar teoremas de la forma
$\exists S: \forall a:[a \in S \iff P(a)]$ para cualquier predicado unario $P$ .
Esto se llamó el esquema de axiomas de sin restricciones la comprensión.
Para $P(a)\equiv a\notin a$ Sin embargo, podríamos entonces demostrar lo contrario:
$\neg\exists S:\forall a:[a\in S \iff a\notin a]$
La moraleja de la historia: El hecho de que se pueda "definir" un conjunto no significa que realmente exista. Algunos restricciones debe aplicarse.
Estas restricciones fueron descritas, al menos en parte, en el llamado esquema de axiomas de restringido comprensión que sustituye al axioma anterior:
$\forall X:\exists S: \forall a:[a \in S \iff a\in X \land P(a)]$ para cualquier predicado unario $P$ donde $S$ no se menciona en $P(a)$ .
Esto eliminó la ruta directa a la Paradoja de Russell y tapó un agujero en la teoría ingenua de conjuntos. Varias formas, incluyendo la prohibición efectiva de la autorreferencia por completo (por ejemplo $x\in x$ ) también se introdujeron en la teoría de conjuntos. Se esperaba que esto desterrara para siempre cualquier cosa que se pareciera a la Paradoja de Russell.
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