El orden del grupo G donde $x^{11}=e$

Question

Dejemos que $(G,*)$ un grupo finito tal que para cualquier $x\in G$ $x^{11}=e$ donde $e$ es el elemento nuetral del grupo $G$ . Que el orden del grupo $G$ puede ser:

a) $1331$

b) $131$

c) $3113$

d) $313$

Sé que si $x^{11}=e$ que $11\mid {\rm ord}(G)$ ( la orden de $G$ ) por lo que las respuestas pueden ser a) o c) pero no conozco otro criterio que me ayude a resolver el problema.

Answer 1

Por el Teorema de Lagrange, ya que $x^{11}=e$ (y $11$ es primo), $\lvert x\rvert=11$ divide el orden del grupo. Tenga en cuenta que $3113/11=283$ es primo, por lo que, por el Teorema de Cauchy, el grupo tendría que tener un elemento de orden $283$

Así que casi tienes razón.

Otro consejo útil aquí es un criterio para mostrar un número $n$ es divisible por $11$ . Tenemos $11\mid n=\overline{n_1\dots n_m}$ si y sólo si la suma $$\sum_{i=1}^m(-1)^{i}n_i$$ es divisible por $11$ , donde $n=\overline{n_1\dots n_m}$ es la expansión decimal de $n$ .

Answer 2

Si $G$ es finito y tiene exponente $p$ , $p$ primo, entonces $|G|=p^m$ para algunos $m$ .

Si no, entonces por el teorema de Cauchy hay un elemento $g$ de orden $q\ne p$ , para $q$ un primo. Y $g^p\ne e$ ya que eso implicaría $q\mid p$ .

Answer 3

Una pista: Si todos los elementos no neutros tienen orden $11$ , entonces el grupo tiene orden $10m+1$ .