Si tenemos secuencias $X_n,Y_m \in L^2[0,1]$ , para $n \neq m$ ¿por qué se deduce que $\mathbb{E}[X_nY_m] = \int_0^1X_nY_m \, dP$ para todos $n,m \geq 0$ donde $P$ es la medida de probabilidad en el espacio $L^2[0,1]$ ? Esto parece ser diferente de cómo se definen normalmente las expectativas, ¿hay algún truco en el formulario anterior? Gracias.
Respuesta
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La frase " $P$ es la medida de probabilidad" podría interpretarse como la sólo medida de probabilidad, por lo que " $P$ es a La "medida de probabilidad" es más apropiada en este caso.
No es una medida sobre $L^2[0,1]$ sino en subconjuntos de Borel de $[0,1]$ . Informalmente se dice que es una medida sobre $[0,1]$ . El espacio $L^2[0,1]$ es el conjunto de funciones $X : [0,1] \to \mathbb C$ para lo cual $\int_{[0,1]} |X|^2\,dP<\infty$ .
La definición habitual del valor esperado de una variable aleatoria $X$ en un espacio de probabilidad $\Omega$ con medida de probabilidad $P$ es $$ \operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\,dP. $$ Para ver cómo se relaciona esto con la forma en que los valores esperados se calculan a menudo en los cursos que no se basan en la teoría de la medida, se puede pensar en ello como $f(x)\,dx = dP(x)$ donde $f$ es la densidad. Entonces tienes $$ \operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\,dP = \int_0^1 x \Big( f(x)\,dx\Big). $$
