Distribución de la media de la muestra con múltiples definiciones de la población

Question

El tiempo que tarda un solicitante de una hipoteca seleccionado al azar en rellenar un determinado formulario tiene una distribución normal con un valor medio de 10 minutos y una desviación típica de 2 minutos. Si cinco individuos rellenan un formulario un día y seis otro, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo empleado en cada día sea como máximo de 11 min?

Para intentar resolver el problema, empecé por identificar las variables conocidas:

$X$ el tiempo que tarda un solicitante de una hipoteca seleccionado al azar en rellenar un determinado formulario (es decir, un formulario)
$\mu_{X}=10$
$\sigma_{X}=2$

Ahora, obviamente hay más variables, pero aquí es donde empieza a ser un poco confuso para mí. En la primera parte del problema, $X$ se refiere claramente al tiempo que se tarda en rellenar un solo forma. Pero en la segunda parte del problema, la población ( $n=5$ ) rellena un número diferente de papeles en cada día, cambiando la población a la que se dirige la pregunta al final del problema. Es de suponer que hay alguna otra población $Y$ y estoy buscando $P(\overline{Y}\leq11)$ . Averiguar qué población $Y$ y cómo configurar la solución es donde estoy perplejo. Cualquier empujón en la dirección correcta es muy apreciado.

Answer 1

El población es el mismo en ambos días, pero el muestras de diferentes tamaños.

En el primer día, la media $\bar X_1 \sim \mathsf{Norm}(10, 2/\sqrt{5})$ y $$P(\bar X_1 < 11) = P\left(\frac{\bar X_1 - 10}{2/\sqrt{5}} < \frac{11-10}{2/\sqrt{5}}\right) = P(Z < 1.118) = 0.8682,$$ donde $Z$ es el estándar normal.

Del mismo modo, en el día 2: $\bar X_2 \sim \mathsf{Norm}(10, 2/\sqrt{6})$ y $P(\bar X_2 < 11) = 0.8897.$

He utilizado un software para evaluar las probabilidades. Si utiliza tablas normales impresas, el día 1 tendrá que tendrá que utilizar $P(Z < 1.12)$ en lugar de $P(Z < 1.118)$ o utilizar la interpolación. Así que puede obtener una respuesta ligeramente diferente a cuatro lugares. Lo mismo ocurre con el día 2.

Dejaré que sean ustedes los que realicen los pasos intermedios para el día 2, para mostrar cómo utilizar el método asignado para evaluar las probabilidades normales estándar (software o tablas) en cada caso, y para terminar el problema.