La dirección de la trayectoria depende del signo del determinante del jacobiano

Question

Dejemos que $f: K_1(0) \rightarrow \mathbb{R}^2$ sea continuamente diferenciable, $\{z_1,..,z_m\}=f^{-1}(a)$ con una regularidad $a \in \mathbb{R}^2$ . Elegimos $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para que $f\vert_{\overline{U}_\epsilon(z_i)}$ son homeomorfismos.

Considere $\partial U_\epsilon(z_i)=:S_i$ . Ver también $S_i$ como el camino que rodea al $\epsilon$ -circular en la dirección matemáticamente positiva. Entonces $f(S_i)$ es una curva de Jordan con $a$ en el interior de $f(S_i)$ ya que $f$ es un homeomorfismo en $S_i$ .

$f(S_i)$ tiene la misma orientación que $S_i$ , si $det ~J_f(z_i) > 0$ y la orientación inversa, si $det ~J_f(z_i)<0$ .

¿Por qué el determinante del jacobiano decide la orientación de $f(S_i)$ ?

Answer 1

Utilizaremos el hecho de que el número de enrollamiento es invariante de la homotopía.

Sólo tenemos en cuenta $S = S_1$ . Sea $L : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ denotan el isomorfismo lineal de $\mathbb{R}^2$ correspondiente a $J_f(z_1)$ se caracteriza por $\lim_{u \to 0}\frac{\lVert f(z_1 + u) - f(z_1) - L(u) \rVert}{\lVert u \rVert} = 0$ . Sea $r = \min\{ \lVert L(z)\rVert \mid \lVert z \rVert = 1 \}$ . Tenemos $r > 0$ porque $L$ es un isomorfismo. Entonces

$$\frac{\lVert f(z_1 + u) - f(z_1) \rVert}{\lVert u \rVert} \ge \frac{\lVert L(u) \rVert}{\lVert u \rVert} - \frac{\lVert f(z_1 + u) - f(z_1) - L(u) \rVert}{\lVert u \rVert} = \\ \lVert L(\frac{u}{\lVert u \rVert}) \rVert- \frac{\lVert f(z_1 + u) - f(z_1) - L(u) \rVert}{\lVert u \rVert} > \frac{r}{2}$$

para $0 < \lVert u \rVert \le \mu$ (por supuesto, podemos suponer que $\mu \le \epsilon_1$ ). Esto demuestra que existe $0 < \rho \le \mu$ tal que

$$(\ast) \phantom{xx} \lVert f(z_1 + u) - f(z_1) - L(u) \rVert < \lVert f(z_1 + u) - f(z_1) \rVert$$

para $0 < \lVert u \rVert \le \rho$ porque de lo contrario obtendríamos una secuencia $(u_n)$ tal que $0 < \lVert u_n \rVert \le \mu$ y $u_n \to 0$ y

$$\frac{\lVert f(z_1 + u_n) - f(z_1) - L(u_n) \rVert}{\lVert u_n \rVert} \ge \frac{\lVert f(z_1 + u_n) - f(z_1) \rVert}{\lVert u_n \rVert} > \frac{r}{2} .$$

Una consecuencia geométrica de $(\ast)$ es

$$(\ast\ast) \phantom{xx} \text{The line segment connecting } f(z_1 + u) \text{ and } f(z_1) + L(u) \text{ does not contain } \\ a = f(z_1)$$

para $0 < \lVert u \rVert \le \rho$ .

Ahora dejemos que $u : [0,1] \to K_1(0)$ sea el camino cerrado $u(t) = z_1 + \epsilon_1e^{2\pi i t}$ (aquí $\mathbb{C}$ entra de nuevo, pero sólo para la notación conveniente). Es homotópico en $K_1(0) \backslash \{ z_1 \}$ a la ruta $v(t) = z_1 + \rho e^{2\pi i t}$ . Por lo tanto, $f \circ u$ y $f \circ v$ son homotópicos en $\mathbb{R}^2 \backslash \{ a \}$ y, por tanto, tienen el mismo número de bobinado. Afirmamos que las trayectorias $f \circ v$ y $w(t) = a + L(\rho e^{2\pi i t})$ son homotópicos en $\mathbb{R}^2\backslash \{ a \}$ . Definir $H : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}^2\backslash \{ a \}, H(t,s) = (1-s)f(v(t)) + sw(t)$ . Por $(\ast \ast)$ esto está bien definido (nota $f(v(t)) = f(z_1 + \rho e^{2\pi i t}), w(t) = f(z_1) + L(\rho e^{2\pi i t})$ ). Vemos que $H_0 = f \circ v, H_1 = w$ y todos $H_t$ son caminos cerrados (es decir $H_t(0) = H_t(1)$ ).

Por lo tanto, basta con determinar el número de bobinado de $w$ que puede dejarse tranquilamente como un ejercicio. Tenga en cuenta que el número de bobinado de $w$ alrededor de $a$ es el mismo que el número de bobinado de $\omega(t) = L(\rho e^{2\pi i t})$ alrededor de $0$ y este último tiene el mismo número de bobinado que $\sigma(t) = L(e^{2\pi i t})$ (utilizar de nuevo una homotopía).

La "filosofía" de esta prueba es la siguiente: Los mapas diferenciables son precisamente aquellos que pueden ser bien aproximados por mapas afines alrededor de cada punto. Esto implica que cada círculo suficientemente pequeño alrededor de un punto en el que $f$ tiene un jacobiano no singular es mapeado a una curva de Jordan que puede ser bien aproximada por la imagen del círculo bajo un mapa afín cuya parte lineal es la derivada de $f$ .

Observación sobre el número de bobinado de la trayectoria $\sigma$ :

La integral correspondiente puede calcularse explícitamente aunque es algo tedioso y requiere algunos conocimientos sobre la integración de expresiones trigonométricas de la forma $\frac{1}{a \cdot sin^2t + b \cdot sint \cdot cost + c \cdot cos^2t}$ . Verá que el número de bobinado de $\sigma$ es $\frac{detL}{\lvert detL \rvert}$ .

Un enfoque alternativo es utilizar una vez más la invariancia de homotopía del número de enrollamiento y construir una homotopía de $\sigma$ a uno de los caminos $a(t) = e^{2 \pi it }$ (si $detL > 0$ ) o $b(t) = e^{-2 \pi it }$ (si $detL < 0$ ).

Dejemos que $e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)$ y que $R(\alpha)$ denotan la rotación por el ángulo $\alpha$ . Existe $\varphi$ tal que $R(\varphi)(L(e_1)) = re_1$ con $r = \lVert L(e_1) \rVert > 0$ . Entonces $\sigma$ es homotópico a $\sigma_1(t) = (R(\varphi)L)(e^{2\pi i t})$ (vía $h(t,s) = (R(s\varphi)L)(e^{2\pi i t})$ ). La rotación es esencial para evitar que $h(t,s) = 0$ para algunos $s$ . $L_1 = R(\varphi)L$ es un isomorfismo lineal que tiene el mismo determinante que $L$ . Tenemos $L_1(e_1) = re_1 = (r,0)$ y $L_1(e_2) = (w_1,w_2)$ Esto demuestra que $det L = det L_1 = rw_2$ . Sea $\epsilon = sign(det L)$ . Entonces $\sigma_1$ es homotópico a $a_\epsilon(t) = e^{\epsilon 2 \pi it }$ (vía $g(t,s) = (1-s)\sigma_1(t) + sa_\epsilon(t)$ ; tenga en cuenta que $g(t,s) \ne 0$ para todos $t,s$ ).