¿"Converse" del segundo Teorema Fundamental del Cálculo?

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea continua. Sea $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea tal que $F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ para todos $a, b \in \mathbb{R}$ . Es $F$ diferenciable, y es $F’ = f$ ?

Una de las razones por las que pregunto es en el contexto de la probabilidad. Dada la función de distribución acumulativa $F$ de una variable aleatoria continua $Y$ , $F(y) := P(Y \leq y)$ puede la función de densidad de probabilidad $f := F'$ puede caracterizarse (alternativamente) por la propiedad $F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ para todos $a, b \in \mathbb{R}$ ?

Answer 1

Sí. Arreglar cualquier $a \in \mathbb{R}$ . Definir $G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por $G(x) = F(x) - F(a) = \int_a^x f(t) \, dt$ . Diferenciando y aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos $G'(x) = F'(x) = f(x)$ Así que $F' = f$ .