Sistema de raíces para álgebras de Lie, Does $t_{\alpha+\beta}=t_\alpha+t_\beta$ ?

Question

Para un sistema de raíces, donde $\alpha,\beta \in \Delta$ y $\alpha+\beta\in \Delta$

Hace $t_{\alpha+\beta}=t_\alpha+t_\beta$ ?

Donde $t_\alpha$ Sé que se denota de diferentes maneras dependiendo del autor, un autor llama a estos vectores raíz. Es decir, para $\alpha\in\Delta$ , $t_\alpha$ abarca $\mathfrak{h}$ , $\quad t_\alpha \in [\frak{g_\alpha,g_{-\alpha}}]$

Traté de manipular las cosas usando $h_\alpha = \frac{2}{\langle \alpha,\alpha\rangle} t_\alpha,\quad \alpha\in \Delta\quad [e_\alpha,e_{-\alpha}]=h_\alpha$ , expandiéndose con la identidad de Jacobi, $[e_\alpha,e_\beta]=N_{\alpha,\beta} e_{\alpha+\beta}$ .

Estoy empezando a pensar que es falso, que

Ayuda adicional para la notación $e_\alpha$ es un vector propio común a todos los elementos de la subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$

Answer 1

Realmente no das una definición para $t_\alpha$ y no he visto esta anotación antes. Pero supongo que $h_\alpha$ y $e_\alpha$ tienen su significado estándar, y toman la relación $t_\alpha = \frac{\langle \alpha, \alpha \rangle}{2}h_\alpha$ que das como definición, donde además asumo que $\langle \cdot ,\cdot\rangle$ es un producto escalar invariante en el sistema de raíces.

Entonces lo que hay que notar es que para tal producto escalar invariante, se tiene una identificación del coroot $\check\alpha(\cdot)$ con $\displaystyle\frac{2 \langle\alpha,\cdot \rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}$ . Mientras que en el nivel del álgebra de Lie, se tiene

$$\check\alpha(\gamma) = \gamma(h_\alpha)$$

para todas las raíces $\gamma$ o en otras palabras, $\check\alpha$ es la evaluación en $h_\alpha$ .

Uniendo todo esto, se obtiene que la evaluación de cualquier raíz $\gamma$ (o en realidad cualquier $l \in \mathfrak{h}^*$ ) en $t_\alpha$ es sólo $\langle \alpha, \gamma\rangle$ (o $\langle \alpha, l\rangle$ ). Como el producto escalar es bilineal, la afirmación se deduce. (Y $t_\alpha \leftrightarrow \alpha$ da una identificación del $t_\alpha$ con el sistema de raíces original, como $h_\alpha \leftrightarrow \check\alpha$ describe el sistema de raíces dual).