Demostrar que $T$ y $S^{-1}TS$ tienen los mismos valores propios

Question

Supongamos que $T \in L(V)$ . Supongamos que $S \in L(V)$ es invertible.

Demostrar que $T$ y $S^{-1}TS$ tienen los mismos valores propios.

¿Cuál es la relación entre los vectores propios de T y los eigenvectos de $S^{-1}TS$ ?

Empecé por decir que suponía $\lambda$ es un valor propio de T tal que $T(v) = \lambda v$

Mostrar $S^{-1}TS\,(v) = T(v) = \lambda v$

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo proceder con el resto del problema, ¿ayuda?

Actualización: ¿Puede alguien ayudarme a averiguar cómo se relacionan los vectores propios de estos dos? Todo lo que puedo obtener de esto es que sólo porque tienen los mismos valores propios no significa que los vectores propios son los mismos.

Answer 1

Sugerencia : Si $v$ es un vector propio de $T$ entonces $v$ no es necesariamente un vector propio de $S^{-1}TS$ . Así que, en su lugar, intenta demostrar que $S^{-1}v$ es un vector propio de $S^{-1}TS$ con el mismo valor propio $\lambda$ .

Answer 2

Otro enfoque:

$det(A-\lambda I_n)=det(S^{-1})\cdot det(A-\lambda I_n)\cdot det(S)=det(S^{-1}(A-\lambda I_n)S)=det(S^{-1}AS- S^{-1}\lambda S)=det(S^{1}AS-\lambda I_n)$

Answer 3

Set $U=S^{-1}TS$ para que $SU=TS$ . Si $v$ es un vector propio de $U$ en relación con $\lambda$ entonces $$TSv=SUv=S(\lambda v)=\lambda Sv,$$ lo que significa que $Sv$ es un vector propio de $T$ tras constatar que $v\ne0$ implica $Sv\ne0$ .

Del mismo modo, desde $US^{-1}=S^{-1}T$ podemos deducir que si $w$ es un vector propio de $T$ , $S^{-1}w$ es un vector propio de $U$ con respecto al mismo valor propio.

Tenga en cuenta que, fijando $E_U(\lambda)=\{v:Uv=\lambda v\}$ y $E_T(\lambda)=\{w:Tw=\lambda v\}$ podemos definir $$\begin{align} &f\colon E_U(\lambda)\to E_T(\lambda),\qquad v\mapsto Sv\\ &g\colon E_T(\lambda)\to E_U(\lambda),\qquad w\mapsto S^{-1}w \end{align}$$ que son mapas lineales inversos entre sí. En consecuencia, los operadores $T$ y $U$ tienen los mismos valores propios, con la misma multiplicidad geométrica, cuando $V$ es de dimensión finita.

El hecho de que los valores propios de $T$ y $U$ son los mismos sigue también, cuando $V$ es de dimensión finita, al considerar que los dos operadores tienen el mismo polinomio característico. Esto tiene como consecuencia que también la multiplicidad algebraica es la misma.

Answer 4

Perdón por subir un problema antiguo, pero acabo de encontrarme con este problema mientras repasaba para el examen final, y aquí está mi intento. Creo que es el más sencillo porque se deduce del teorema 8.29 de Axler que los operadores de estados sobre espacios vectoriales complejos tienen representación matricial diagonal en bloque con bloques triangulares superiores, con valores propios en la diagonal.

La prueba: Por el teorema 8.29, existe alguna base en la que la matriz de $T$ , denotado como $A$ es una diagonal en bloque como se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, $A=P^{-1}TP$ para alguna matriz invertible $P$ . Ahora bien, desde $S$ es invertible, también podemos escribir $A=(P^{-1}S)S^{-1}TS(S^{-1}P)=(S^{-1}P)^{-1}(S^{-1}TS)(S^{-1}P)$ . Por lo tanto, $T$ y $S^{-1}TS$ tienen la misma representación matricial en bloque con bloques triangulares superiores, con valores propios en la diagonal como Axler ha mostrado en 8.29. Por lo tanto, concluimos que estos dos operadores tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades con sólo leer las entradas de la diagonal. Ya está.