Hay muchos sabores de "meta" en la lógica. La mayoría de hacer mínimo el uso de la metatheory. Por ejemplo, el Montague Principio de Reflejo en la Teoría de conjuntos, dice lo siguiente:
Metatheorem. Para cada fórmula $\phi(x)$ de el lenguaje de la Teoría de conjuntos, la siguiente es comprobable: Si $\phi(a)$ es cierto, entonces hay un ordinal $\alpha$ tal que $a \in V_\alpha$$V_\alpha \vDash \phi(a)$.
De hecho, esta es una colección infinita de teoremas, uno para cada fórmula $\phi(x)$. El teorema de Gödel impide que ZFC desde la prueba de todas estas instancias al mismo tiempo. La prueba de esto metatheorem es por inducción sobre la longitud de $\phi(x)$. Los requisitos sobre la metatheory son muy mínimos, todo lo que necesitas es suficiente combinatoria para hablar acerca de las fórmulas, de las pruebas y suficiente de inducción para dar sentido a todo. Este es por lejos el más común el sabor de "meta" en la lógica. Realmente no hay mucho a ella. La mayoría de los lógicos, no te preocupes acerca de la metatheory en este contexto. De hecho, es a menudo irrelevante y, como la mayoría de los matemáticos, lógicos, por lo general creen en los números naturales con la inducción completa.
Sin embargo, a veces existe la necesidad de una mucho más fuerte metatheory. Por ejemplo, el metatheory de Modelo de la Teoría es generalmente llevado a ser ZFC. Gödel Integridad del Teorema es un bonito contraste de ejemplo.
Integridad Teorema. Cada coherente teoría es válido.
Recordemos que una teoría es consistente si no se puede derivar una contradicción forma, mientras que una teoría es válido si se tiene un modelo. La consistencia de una teoría es puramente sintáctica noción. Cuando la teoría es eficaz, la consistencia puede ser expresado en aritmética simple de los términos de una manera similar a la mencionada anteriormente. Sin embargo, satisfiability no es, en absoluto, de esta forma ya que los modelos de una teoría son típicamente infinito de estructuras. Esta es la razón por la que este teorema es generalmente establecido en ZFC. Por el Teorema de Completitud, a menudo se puede conseguir por mucho menos. Por ejemplo, el sistema de WKL0 de segundo orden de la aritmética es suficiente para demostrar el Teorema de Completitud para contables de las teorías (que existen en la metaworld en cuestión), pero la débil metatheory sería nada más que un gran inconveniente para los modelos teóricos.
A veces hay múltiples opciones de metatheory y no hay consenso sobre cuál es el más adecuado. Esto sucede en el caso de Forzar en la Teoría de conjuntos, que tiene tres puntos de vista en común:
Obligando a es una forma de extender una contables modelo transitivo de ZFC' a un modelo más grande de ZFC' con diferentes propiedades. Aquí ZFC' es un finito aproximación a ZFC, lo que hace que esta declaración no vacías en ZFC debido a la Reflexión del Principio anterior.
Obligando a que es una manera de hablar acerca de la verdad en un universo alternativo de conjuntos. Aquí, el universo alternativo es a menudo llevado a ser un valor Booleano modelo de valor, formalizado en el universo original.
Obligando a es una forma efectiva de transformar una contradicción algún tipo de extensiones de ZFC en las contradicciones dentro de ZFC en sí. Aquí, ZFC podría ser reemplazado por una extensión de ZFC.
El último punto de vista, que es el menos común, es esencialmente aritmética, ya que sólo habla de las pruebas. El segundo punto de vista es muy adecuado para el núcleo duro platónicos que creen en un verdadero universo de los conjuntos. El primer punto de vista, que es probablemente la más popular, esencialmente toma ZFC como un metatheory mucho como modelo de los teóricos de hacer.
Ya que no hay consenso, establecer los teóricos suelen hablar como si $V$ y su forzando la extensión de $V[G]$ son absolutamente real universos de conjuntos. Aunque este punto de vista es difícil de justificar formalmente, es posible que tenga sentido utilizando cualquiera de los tres puntos de vista por encima y tiene la ventaja de que es más fácil expresar las ideas que se van a forzar a las construcciones, que es lo que los teóricos realmente quiero hablar.
Finalmente, la idea de que el análisis de los sistemas de probar la consistencia de otros sistemas es muy común en la lógica. En la Teoría de conjuntos, estos sistemas suelen tomar la forma de un gran cardenal axiomas. En Segundo Orden Aritmética de estos sistemas a menudo toman la forma de comprensión de los principios. En Primer Orden Aritmética de estos sistemas a menudo toman la forma de inducción de principios. Juntos forman una increíblemente larga consistencia de la fuerza de la jerarquía que se extiende desde muy débil aritméticos básicos hechos increíblemente profundo gran cardenal axiomas. Una parte muy importante de la lógica se ocupa con el estudio de esta jerarquía y, como Andrej Bauer comentado, los lógicos suelen ser muy conscientes de donde están sentados en esta jerarquía de demostrar metatheorems.
