Un conjunto en un plano que interesa a cada línea por exactamente dos puntos

Question

Cómo demostrar que existe un subconjunto de $\mathbb{R}^2 $ tal que cada línea de este plano contiene exactamente 2 puntos en este conjunto?

Debe ser un corolario del lema de Zorn.

Answer 1

Esto se llama un conjunto de dos puntos. Creo que todavía es un problema (clásico) abierto si tal conjunto puede ser Borel, ya que todos estos subconjuntos son normalmente no constructivos (basados en AC, más a menudo en recursión transfinita), ver este documento para más información sobre $3$ -conjuntos de puntos y problemas relacionados.