Restricción del dominio de la función biyectiva

Question

Siempre es cierto que si $f$ es una biyección de dos conjuntos $A$ y $B$ y $C \subset A$ entonces la restricción $f{\restriction_{C}}$ debe ser inyectiva?

He tratado de probarlo notando que decir esto, es lo mismo que decir que si $f$ es nuestra biyección, y $\iota_{C} : C \to A : x \mapsto x$ es la aplicación de inclusión de $C$ en $A$ entonces $f \circ \iota_{C}$ es inyectiva, pero no he ido demasiado lejos, y ni siquiera estoy seguro de la corrección del último resultado.

Answer 1

Sí, la restricción de cualquier inyección es en sí misma una inyección. De lo contrario, habría $x \neq y$ , $x,y \in C$ tal que $$ f \restriction C (x) = f \restriction C (y). $$ Pero entonces $f(x) = f(y)$ -- contradiciendo el hecho de que $f$ es inyectiva.