Cómo demostrar que $\sum\limits_{n=1}^\infty \exp(i\,nz)$ ¿converge?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$ f(z) = \exp(i\, z) + \exp(i\, 2z) + \ldots + \exp(i\, nz) + \ldots $$ ¿converge? El problema está tomado de una pregunta de Yahoo! Respuestas: "¿Hallar la suma infinita de sin(n)/n?" .

Answer 1

Para que la serie converja, se tiene la siguiente condición, $$ |{\rm e}^{iz}| < 1 \,.$$

Suponiendo que $z=x+iy$ tenemos,

$$ \left|{\rm e}^{i(x+iy)} \right| = \left|{\rm e}^{ix-y)} \right| = {\rm e}^{-y} < 1 \Rightarrow -y < 0 \Rightarrow y > 0 \,.$$

Answer 2

Parece un serie geométrica a mí. Recordemos que una serie geométrica es de la forma

$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \, .$

En este caso, el primer término $a = e^{iz}$ mientras que la relación común $r = e^{iz}.$

$S = \frac{a}{1-r} = \frac{e^{iz}}{1-e^{iz}} \, . $

Esta función define el continuación analítica de $f$ proporcionado $e^{iz} \neq 1$ .

Answer 3

El radio de convergencia de esta serie es $1$ debido al polo en $1$ de la serie geométrica. Así, para cualquier $z$ tal que: $$ |\exp(iz)| < 1$$ la serie converge. Esto es cierto para cada $y = \Im(z) > 0$ ya que para estos valores se tiene un factor $e^{i(iy)}=e^{-y} < 1$ .

Answer 4

La demostración general de la fórmula de la serie geométrica dada aquí en Wikipedia también funciona para los números complejos. Si miras los números reales: $1 + r + r^2 + ...$ , entonces necesitamos $\lvert r \lvert < 1$ . Si $r$ es un número complejo, entonces todavía se necesita $\lvert r \lvert < 1$ donde ahora el $\lvert \cdot\lvert$ es la norma compleja.