Evaluar $\lim_{m\rightarrow \infty}\bigg[m^3\int^{2m}_{m}\frac{xdx}{x^5+1}\bigg]$

Question

Evaluar $\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}\bigg[m^3\int^{2m}_{m}\frac{xdx}{x^5+1}\bigg]$ para $m\in\mathbb{N}$

lo que intento

poner $x^5+1=t$ y $dx=\frac{1}{5}x^{-4}dt=\frac{1}{5x^4}dt$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{m^3}{5}\bigg[\int^{32m^5+1}_{m^5+1}\frac{x^2}{t(t-1)}dt\bigg]$$

Cómo lo resuelvo. Ayúdenme por favor

Answer 1

Tenemos $\int^{2m}_{m}\frac{xdx}{x^5+1} \leq m\cdot \frac{2m}{m^5+1} \stackrel{m\to \infty}{\longrightarrow} 0$

Set $I(m) = \int^{2m}_{m}\frac{xdx}{x^5+1} \Rightarrow m^3\cdot I(m) = \frac{I(m)}{\frac{1}{m^3}}$ .

Entonces, tenemos un caso de L'Hospital de $\frac{0}{0}$ :

\begin{eqnarray*} \frac{I(m)}{\frac{1}{m^3}} & \stackrel{L'Hospt.}{\sim} & \frac{2\frac{2m}{(2m)^5+1}-\frac{m}{m^5+1}}{-3\cdot m^{-4}} \\ & = & -\frac{1}{3}\left(\frac{4m^5}{32m^5+1} - \frac{m^5}{m^5+1}\right) \\ & \stackrel{m \to \infty}{\longrightarrow} & \frac{7}{24} \end{eqnarray*}

Answer 2

Poniendo $x=mt$ en la integral vemos que el límite deseado es igual al límite de la expresión $$m^5\int_{1}^{2}\frac{t\,dt}{m^5t^5+1}$$ que es igual al límite $$\lim_{h\to 0^{+} }\int_{1}^{2}\frac{t\,dt}{h+t^5}$$ mediante la sustitución $h=1/m^5$ . Es evidente que el integrando es continuo en ambos $t, h$ y por lo tanto el límite puede ser tomado dentro para obtener el límite deseado como $\int_{1}^{2}t^{-4}\,dt=7/24$ .

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Otro enfoque más sencillo es observar que $$m^3\int_m^{2m}\frac{dx}{x^4}=\frac{7}{24}$$ y por lo tanto tenemos $$\left|m^3\int_m^{2m}\frac{x\,dx}{1+x^5}-\frac{7}{24}\right|=m^3\int_{m}^{2m}\frac{dx}{x^4(1+x^5)}\leq m^3\cdot m\cdot\frac{1}{m^4(1+m^5)}$$ y la expresión de la derecha tiende a $0$ . Esto evita el intercambio de límite con integral y está totalmente dentro del alcance de un curso típico de cálculo de la escuela secundaria.

Answer 3

Otro argumento intuitivo pero no riguroso. Intuitivamente como el límite inferior de la integral en el denominador, $m\to \infty$ por lo que el integrando va a $0$ por lo que podemos decir que esencialmente la integral en el denominador va a $0$ . Esto es muy atractivo para una aplicación de la regla de L'Hopital que le da $7/24$ como valor límite de la siguiente manera. Podemos aproximar la integral por: $$\begin{aligned}\int_{m}^{2m}\dfrac{1}{x^4}\mathrm dx=\dfrac{-1}{3(2m)^3}+\dfrac{1}{3m^3}\implies \lim_{m\to \infty}m^3\int_{m}^{2m}\dfrac{x}{x^5+1}\mathrm dx\to \dfrac{-1}{24}+\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{7}{24}}\end{aligned}$$