Véase esta página de Wikipedia: Intervalo de confianza de la proporción binomial .
Para obtener el intervalo de Agresti-Coull, hay que calcular un percentil de la distribución normal, llamado $z$ . ¿Cómo se calcula el percentil? ¿Existe una función ya hecha que haga esto en Wolfram Mathematica y/o Python/NumPy/SciPy?
Página de John Cook, Distribuciones en Scipy es una buena referencia para este tipo de cosas:
In [15]: import scipy.stats
In [16]: scipy.stats.norm.ppf(0.975)
Out[16]: 1.959963984540054
En Python, se puede utilizar la función estadísticas del módulo scipy (busque cdf() , como en lo siguiente ejemplo ).
(Parece que el transcendental también incluye las distribuciones acumulativas habituales).
(Tengo la versión 7.) No tengo ningún problema para cargar el paquete Estadísticas. Pero, ¿cómo se llama la función que hay ahí? Porque me da la impresión de que Quantile hará el cálculo manualmente en lugar de utilizar una fórmula.
Puede utilizar el función erf inversa que está disponible en MatLab y Mathematica, por ejemplo.
Para la FCD normal, a partir de
$$y=\Phi\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
Obtenemos
$$x=\sqrt{2}\ \text{erf}^{-1}\left(2y-1\right)$$
Para la FCD logarítmica normal, a partir de
$$y=F_{x}(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{-\log x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)$$
Obtenemos
$$-\log \left(x\right)=\mu+\sigma\sqrt{2}\ \text{erfc}^{-1}\left(2y\right)$$
Mi idea era que si tienes inversas para las funciones erf y erfc, entonces el problema está resuelto. MatLab, por ejemplo, tiene tales funciones preprogramadas.
@Jean-VictorCôté Por favor, desarrolle sus ideas en su respuesta. De lo contrario, parece simplemente un comentario, como se sugiere más arriba.
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Lamentablemente, la expresión integral de la "fdc normal que obtuve exactamente de Wiki" está desfasada por un factor de $1/\sqrt{\pi}$ . No se conoce ninguna fórmula exacta para la CDF normal o su inversa utilizando un número finito de términos que impliquen funciones estándar ( $\exp, \log, \sin \cos$ etc) pero tanto la fdc normal como su inversa se han estudiado mucho y las fórmulas aproximadas para ambas están programadas en muchas calculadoras, hojas de cálculo, por no hablar de paquetes estadísticos. No estoy familiarizado con R, pero me sorprendería que no tuviera ya incorporado lo que estás buscando.
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@DilipSarwate, ¡ya está arreglado! Estoy haciendo esto usando tranformación inversa, también "no se permite" utilizar demasiado construido en. Es por el bien de aprendizaje supongo.
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@Dilip: No sólo no se conoce la fórmula exacta, mejor aún, es conocido que tal fórmula no puede existir.
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@cardinal y Dilip: Es la transformación de Box-Muller, acabo de editar la pregunta, ahora está en la primera línea.
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El método de Acklam (con búsqueda de raíces) es un enfoque muy competitivo para aproximando la cdf inversa en coma flotante de doble precisión. El método de búsqueda de raíces que utiliza no es necesariamente el mejor. Si no recuerdo mal, insiste demasiado en ese aspecto.
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@cardinal gracias por la idea, me piden a Box-Muller es.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform Parece fácil. Para el caso NORMAL ESTÁNDAR, genero 2 muestras uniformes, U1, U2, luego usando la fórmula Wiki, obtengo mis Z0 y Z1 como muestras. Pero, cuando lo calculo, no obtengo $$\Pr (Z0)=(U1)$$ $$\Pr (Z1)=(U2)$$ ¿Qué ocurre?
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Acabo de trazar un histograma, las muestras parecen distribuidas normalmente. :) Pero sigo sin entender la transformación.
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@cardinal Sí, soy consciente de que se ha demostrado que no puede existir tal fórmula. Debería haber redactado mi comentario para reflejar este hecho.
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El método Box-Muller genera muestras de una distribución conjunta de variables aleatorias normales estándar independientes. Por tanto, los histogramas de los valores generados se parecerán a las distribuciones normales estándar. Pero el método de Box-Muller es no un método para calcular los valores de $\Phi(x)$ excepto incidentalmente como en "generé $10^4$ muestras normales estándar de las cuales $8401$ tiene valor $1$ o menos, y así $\Phi(1) \approx 0.8401$ y $\Phi^{-1}(0.8401) \approx 1$ .
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Acabo de elegir $8401$ como ejemplo del tipo de cifras que cabe esperar. $\Phi(1) = 0.8413\ldots$ por lo que si se genera $10^4$ muestras de una distribución normal estándar, se debe esperar cerrar à $8413$ de la $10000$ muestras para que tengan valor $\leq 1$ . Estás aplicando correctamente el método Box-Muller, pero no estás entendiendo los resultados que obtienes y no los estás relacionando con la fdc, etc.
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@DilipSarwate ¿Cómo debo extender esto a normal con mean=3, var=2. Estoy tratando de trabajar a través de la forma polar en wiki. Dice que la forma polar "los mapas [muestras] a dos muestras distribuidas normalmente".
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Leyendo otras fuentes, no creo que se pueda. Box-Muller es específicamente para la normal estándar. Entonces, Wiki debe ser actualizado.
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No puedes, dice en la primera línea "generando pares de independientes, estándar, normalmente distribuidos" lol.
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@user1061210: Para obtener de un par de normales estándar independientes $(Z_1, Z_2)$ a una distribución normal bivariante arbitraria, basta con aplicar la transformación lineal correcta. Este es un hecho estándar sobre las variables aleatorias distribuidas normalmente de forma conjunta.
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@cardinal, ¿qué tal distribución normal media=3, var=2?
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En realidad, lo he descubierto. Si alguien lo necesita, estoy encantado de ayudar.
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En los comentarios se habla de la generación de variantes; el texto de la pregunta parece referirse al cálculo de la FCD inversa de una distribución Normal; los comentarios adicionales no aportan ninguna aclaración. No hay ninguna pregunta definitiva que responder aquí.