Las representaciones explícitas indecomponibles de (cualquier) carcaj euclidiano de tipo E

Question

Se sabe que para cualquier carcaj $Q$ que es una orientación de $\tilde{\mathbb{E}}_8$ el álgebra de trayectoria hereditaria $KQ$ ( $K$ siendo un campo algebraicamente cerrado) es manso (pero no finito). Es decir, en cada dimensión $d$ todos menos un número finito de indecomponibles $KQ$ -Los módulos se encuentran en un número finito de familias de 1 parámetro. (Estas familias de 1 parámetro surgen de $K[t]$ - $KQ$ -bimódulos generados finitamente y libres a la izquierda $K[t]$ -).

Estoy interesado en las representaciones explícitas del quiver de estas familias de 1 parámetro de $KQ$ -módulos.

Un ejemplo para la orientación $$\begin{matrix} & & \uparrow & \\ \leftarrow & \leftarrow & & \rightarrow & \rightarrow & \rightarrow & \rightarrow & \rightarrow \end{matrix}$$ se proporciona en la parte superior de la página 187 en la siguiente referencia:

Ibrahim Assem, Daniel Simson y Andrzej Skowronski , MR 2197389 Elementos de la teoría de la representación de las álgebras asociativas. Vol. 1 , ISBN: 978-0-521-58423-4; 978-0-521-58631-3; 0-521-58631-3.

Sin embargo, no veo nada sobre las otras orientaciones de $\tilde{\mathbb{E}}_8$ . Me gustaría conocer un ejemplo concreto de una familia de 1 parámetro indecomponible $KQ$ -para cualquier otra orientación de $\tilde{\mathbb{E}}_8$ . En mi experiencia, mientras que los vectores de dimensión de familias "similares" de módulos indecomponibles pueden ser los mismos en diferentes orientaciones, los mapas lineales en el $K$ -Las representaciones suelen tener que ser completamente diferentes para mantener la indemostrabilidad.

Me gustaría tener una referencia (si existe) que enumere dichos ejemplos (y realmente necesito una presentación explícita). Alternativamente, si existe una técnica para construir estas familias de módulos para cualquier orientación, una referencia para esto también sería apropiada.

Answer 1

Las notas de Crawley-Boevey ( http://www1.maths.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf ) muestran cómo obtener una familia de módulos indecomponibles indexados por $\mathbb{P}^1$ por un método general. Consideremos el proyectivo $P$ cubriendo el simple para el vértice que se extiende (esto es en sí mismo simple en el ejemplo anterior, pero en otras orientaciones podría no serlo), y dejemos que $L$ sea el único módulo indecomponible cuyo vector de dimensión es el de $P$ más $\delta$ . Algunos cálculos sencillos muestran que $\mathrm{Hom}(P,L)$ es un espacio vectorial de 2 dimensiones y cada elemento no nulo de este espacio da un mapa inyectivo, con el cokernel dado por una representación indecomponible (simple en todos los casos menos en los finitos) con dimensión vectorial $\delta$ . Si descartamos los puntos finitos no simples, ésta es la única familia unidimensional de representaciones simples con este vector de dimensión.

Answer 2

Los funtores de reflexión te llevan entre categorías de representaciones de diferentes orientaciones del mismo carcaj y preservan la indecomponibilidad (hasta el hecho de que un functor de reflexión destruye una única clase de isomorfismo de indecomponibles simples). Por lo tanto, tener una familia de este tipo para una orientación es suficiente para muchos propósitos. (Aunque la respuesta de Ben también es buena).