¿Cómo puedo calcular la posición en la esfera de Bloch de una puerta cuántica con una matriz diagonal dada?

Question

En la computación cuántica hay varias puertas cuánticas principales que tienen sus correspondientes representaciones matriciales. Una de ellas es la puerta Z, cuya matriz es $\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

... de todos modos, he encontrado los valores propios (iguales a +1, -1) utilizando la ecuación característica, y los he utilizado para derivar los correspondientes vectores propios, que se unen bastante bien en una matriz de 2×2 $\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]$ , igual a la identidad. Entonces, al diagonalizar esta matriz, encuentro que la matriz diagonal $D$ es la misma matriz que la de la puerta $Z$ .

... el siguiente paso y donde estoy atascado es encontrar el punto correspondiente en la esfera de Bloch para esta puerta. Para ello, necesito calcular cómo tomar la matriz diagonalizada llámese $D_z$ y derivar dos cosas: (a)  su representación diagonal $| 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 |$ y (b)  los valores propios normalizados $a, b$ para $Z$ , donde $Z = a|0\rangle + b|1\rangle$ y debe ser ortonormal, es decir $a^2 + b^2 = 1$ . El $a$ y $b$ corresponden a las probabilidades de medir 0 o 1 para el estado, respectivamente (creo).

Después de tener los valores de $a$ y $b$ En la esfera de Bloch podré localizar la puerta porque el cálculo de sus coordenadas en la esfera es sencillo: $a = \cos(\theta / 2)$ y $b = e^{i\phi}\sin(\theta/2)$ .

Answer 1

En realidad, hay una forma muy agradable de descubrir la representación de la esfera de Bloch para cualquier operador de densidad. (Los estados puros son sólo un caso especial).

Definición.

No estoy seguro de cómo su (¿profesor? ¿libro? ¿otra fuente de aprendizaje?) define la esfera de Bloch, pero la definición que tiene más sentido desde una perspectiva fundamental es que, para cualquier operador de densidad ρ el punto de la esfera de Bloch correspondiente a ρ es el vector ( r _x ,  r _y ,  r _z ) tal que $$ \rho = \tfrac{1}{2}( I + r_x X + r_y Y + r_z Z )$$ donde $I$ es la identidad y $X, Y, Z$ son los (otros) operadores de Pauli 2×2.

Esbozo de prueba.

Es fácil demostrar que los operadores $I, X, Y, Z$ son linealmente independientes (¿qué combinaciones lineales de ellos se suman al operador cero?) y son herméticos (cada uno es igual a su propio conjugado-transpuesto). A partir de esto se puede demostrar que abarcan el conjunto de todos los operadores hermitianos 2×2; y como son linealmente independientes, son en realidad un conjunto base para esos operadores. Así que cualquier operador de densidad -que también es hermitiano- se descompondrá en $I, X, Y, Z$ de una manera única. (Es posible demostrar que es un coeficiente en $I$ es siempre ½ considerando la traza. ¿Ves cómo?)

Respuesta.

Deberías intentar demostrar las cosas que he dicho arriba - no es difícil, y está usando matemáticas que te serán útiles más tarde de todos modos - pero para el problema de encontrar la representación de la esfera de Bloch, todo lo que necesitas hacer es resolver para ( r _x ,  r _y ,  r _z ) en la ecuación anterior.

Si quieres, puedes incluso obtener estos coeficientes mediante una sencilla fórmula. ( Una pista: cuál es la traza del producto de dos matrices diferentes elegidas entre $I,X,Y,Z$ ? ¿Qué significa esto para $\mathrm{tr}(\rho P)$ para $P \in \{I,X,Y,Z\}$ ?)

---

Otro comentario -

En el futuro, no hay que hacer ningún trabajo para encontrar los valores propios de una matriz diagonal $D$ . Es fácil demostrar que los vectores base estándar $\mathbf e_j = [\; 0 \; \cdots \; 0 \;\; 1 \;\; 0 \; \cdots \; 0 \;]^\top$ son vectores propios para cualquier matriz diagonal, y que los valores propios son exactamente los coeficientes de la diagonal (con multiplicidad dada por la frecuencia con que se repite cada uno). También es fácil demostrar que $D - \lambda I$ es invertible para cualquier otro $\lambda$ , de modo que estos son todos los valores propios.

Answer 2

Añadiendo algo más al post de Niel, dejemos $\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)$ sea un vector unitario. Entonces $\sigma_u = u_x\sigma_x+u_y\sigma_y+u_z\sigma_z$ es el operador de espín de Pauli en el $\vec{u}$ dirección.

Como con cualquier operador de espín de Pauli, $\sigma_u^2 = 1$ . Esto se debe a que $\sigma_x,\sigma_y$ y $\sigma_z$ al cuadrado de 1, y todos los términos cruzados se cancelan por anticomutatividad. Por lo tanto, $(1+\sigma_u)/2$ se demuestra fácilmente que es idempotente y como tiene traza 1, es la matriz de densidad pura de un estado. Pero el estado tiene que ser de espín en el $\vec{u}$ porque es un eigenoperador de espín en la dirección u (con valor propio 1): $\sigma_u\;\;(1+\sigma_u)/2 = 1\;\; (1+\sigma_u)/2$ . Así, para obtener el estado correspondiente (espinor), se toma cualquier vector columna no nulo de $(1+\sigma_u)/2$ y normalizar.