Demostrar que para todos los $x\in \mathbb R$ $, \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arccos(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}})$

Question

Demostrar que para todos los $x\in \mathbb R$ , $$\arctan x=\frac{\pi}{2}-\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$

De la forma de Lagrange del teorema de Taylor tengo: $$\arctan x+\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)=x-\frac{c_{1}x^{2}}{\sqrt{1+c_{1}^{2}}}+\frac{\pi}{2}-x-\frac{c_{2}x^{2}}{2\sqrt{(1-c_{2}^{2})^{3}}}=-\frac{c_{1}x^{2}}{\sqrt{1+c_{1}^{2}}}+\frac{\pi}{2}-\frac{c_{2}x^{2}}{2\sqrt{(1-c_{2}^{2})^{3}}}$$ Lo sé: $$\left(-\frac{c_{1}x^{2}}{\sqrt{1+c_{1}^{2}}}-\frac{c_{2}x^{2}}{2\sqrt{(1-c_{2}^{2})^{3}}}\right) \rightarrow 0$$ Pero no sé cómo demostrarlo: $$\left(-\frac{c_{1}x^{2}}{\sqrt{1+c_{1}^{2}}}-\frac{c_{2}x^{2}}{2\sqrt{(1-c_{2}^{2})^{3}}}\right) = 0$$
¿Puede ayudarme?

Answer 1

Un método fácil es considerar la función $f(x)=\arctan{x}+\arccos{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$ entonces demuestre que $f’(x)=0$ y deducimos que $f(x)$ es una función constante y por lo tanto $f(x)=f(0)=\pi/2$

Answer 2

Dibuja un triángulo rectángulo cuya tangente es $x$ . Etiquetar el lado opuesto $x$ y la otra pierna $1$ . Ahora encuentra la longitud de la hipotenusa; es $\sqrt{x^2 + 1}$ .

Luego, calcula el coseno del ángulo complementario. Ya has terminado.

Answer 3

Pista: La forma clásica de resolver este tipo de funciones es calcular la derivada de $arctan(x)$ y ${\pi\over 2}-arccos({x\over\sqrt{1+x^2}})$ y demostrar que son iguales, ahora ambas funciones coinciden en $0$ .

Answer 4

Una pista:

Dejemos que $\arctan x=y,-\pi/2<y<\pi/2,\cos y>0$

$\arccos\dfrac{\tan y}{\sec y}=\arccos(\sin y)=\dfrac\pi2-\arcsin(\sin y)=?$

Answer 5

Por definición, $\arctan x=\theta$ significa $$\tan\theta=x\quad\hbox{and}\quad -\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\ .$$ Dejemos que $\theta$ sea el lado derecho de su ecuación. Tenemos $$-1<\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}<1\quad \Rightarrow\quad 0<\arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}<\pi\quad \Rightarrow\quad -\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\ ,$$ por lo que la segunda parte de la condición es verdadera. El hecho de que $0<\arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}<\pi$ también significa que $$\sin\Bigl(\arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr) =\sqrt{1-\cos^2\Bigl(\arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)}$$ y no el negativo de esta raíz cuadrada, por lo que $$\eqalign{\tan\theta &=\cot\arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cr &=\frac{\cos(\arccos(x/\sqrt{1+x^2}))}{\sin(\arccos(x/\sqrt{1+x^2}))}\cr &=\frac{x/\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{1+x^2}}}\cr &=x\ .\cr}$$