Encontrar todas las soluciones enteras de $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}$

Question

Encontrar todas las soluciones enteras $(x, y)$ de la ecuación $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}$$

Lo que han hecho es eso: $$\frac{1}{x}= \frac{2y-3}{3y}$$ Así que.., $$x=\frac{3y}{2y-3}$$ Si $2y-3 = +1 \text{ or } {-1}$ , $x$ será un número entero, por lo que elegimos el número entero $y$ para hacer $2y-3=1 \text{ or } {-1}$ . $y = 2$ o $y = 1$ es una solución de este tipo. También, $2y - 3$ puede ser eliminado por el numerador $3$ Así que $2y - 3$ puede ser $3$ o $-3$ también. Esto da $y = 3$ o $y = 0$ pero $y$ no puede ser $0$ . Hasta ahora, hemos $y=1,2,3$ . Finalmente, $2y-3$ puede ser eliminado por el numerador $y$ Pero, ¿cómo podemos encontrar tal $y$ ?

Answer 1

Otra respuesta que no se ajusta a su planteamiento es la siguiente:

Dados los enteros $x,y$ tal que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}$ :

  $3x+3y = 2xy$ .

  Así, $4xy - 6x - 6y = 0$ y por lo tanto $(2x-3)(2y-3) = 9$ .

Ahora queda encontrar todas las factorizaciones de $9$ como producto de dos enteros.

Answer 2

Su enfoque puede continuar hasta una solución completa. Veámoslo en detalle:

Dados los enteros $x,y$ tal que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}$ :

  Al menos uno de $x,y$ es positivo, y por simetría podemos suponer que $y$ es positivo.

  $\frac{1}{x} = \frac{2y-3}{3y}$ .

  Así, $x = \frac{3y}{2y-3} = 1 + \frac{y+3}{2y-3}$ .

  Si $y > 6$ entonces $y+3 < 2y-3$ y así $0 < \frac{y+3}{2y-3} < 1$ que hace que $x$ no un número entero.

  Así, $y \le 6$ .

Sólo queda comprobar todos los $y$ de $1$ a $6$ .

Answer 3

Si $0<x\le y$ entonces $\frac23 = \frac1x+\frac1y \le \frac1x+\frac1x$ y así $x\le3$ .

Si $x<0$ entonces $\frac23 < \frac1{-x}+\frac23=\frac1y$ y así $y=1$ .

Por lo tanto, $(x,y) \in \{ (3,3) , (-3,1) , (1,-3), (2,6),(6,2)\}$ .