Encontrar el punto $P$ para que la tangente a la función pase por el origen

Question

Encuentre el punto $P$ situado en el gráfico de la función $f(x) = e^x + x$ donde la tangente a la gráfica pasa por el origen.

Este es mi enfoque:

Dejemos que $d: y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ sea la ecuación de la tangente a la función trazada en el punto $M(x_0, f(x_0))$ .

La tangente pasa por el origen, lo que significa que $y = xf'(0)$ .

$f'(x) = e^x + 1$ obtenemos $f'(0) = 2$ .

Así, la ecuación de la tangente a la gráfica de la función que pasa por el origen es $d: y - 2x = 0$ .

Ahora, necesitamos encontrar la intersección de la gráfica de la función con esta línea tangente. De la ecuación de la tangente obtenemos $y = 2x$ Así que $f(x) = 2x$ .

Enchufando lo que acabamos de conseguir en $f(x) = e^x + x$ obtenemos $e^x - x = 0$ que no tiene soluciones reales.

Por lo tanto, el punto P no existe.

¿Es correcta la solución que he dado? ¿Hay algún error?

Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\dfrac{y-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$$

$$\implies\dfrac{y-(e^{x_0}+x_0)}{x-x_0}=e^{x_0}+1$$

Ahora esto tiene que pasar por el origen.

¿Puedes encontrar $x_0(=1)$ y por lo tanto $f(x_0)$ ¿desde aquí?

Answer 2

Me costó un poco entender lo que pasaba por tu cabeza, pero creo que ya lo tengo. Todo el problema viene de

La tangente pasa por el origen, lo que significa que $y=xf′(0)$ .

donde parece que estás forzando el gráfico de f para pasar por el origen, en lugar de la tangente. Volviendo a la ecuación de la tangente

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

Debemos hacer $(0, 0)$ un punto de este recto, así que

$$0 = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0) \implies x_0 = \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

asumiendo que nada se bloquea al dividir. Ahora bien, si se encuentra un $x_0$ entonces $(x_0, f(x_0))$ es el punto de la trama que estás buscando.