¿Cuántas matrices invertibles hay en $M_{2}(\mathbb{Z}_{11})$ ?

Question

He intentado resolver esta pregunta pero sin éxito. ¿Cuántas matrices invertibles hay en $M_{2}(\mathbb{Z}_{11})$ ?

Gracias

Answer 1

La respuesta es $(11^2 - 1)(11^2 - 11)$

El primer término es el número de vectores no nulos que hay en $(Z_{11})^2$ La otra es cuántas hay que son linealmente independientes de la primera elegida.

Se puede generalizar fácilmente este hecho: la potencia de todos los invertibles $n\times n$ matrices sobre un campo finito $\mathbb{F}_p$ es

$$(p^n - 1)(p^n - p) \dots (p^n - p^{n-1})$$

Cada uno de ellos nos dice cuántos vectores hay que son linealmente independientes con los anteriores