Mi pregunta es si $x(x+{1\over x}+2)$ lo mismo que $x^2+2x+1$ ? Y si es así:
-¿Por qué el 0 no pertenece al dominio del primero pero sí al del segundo?
-¿Es la primera función un polinomio?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La pregunta "¿es esta función un polinomio?" puede responderse con distintos niveles de sofisticación y depende tanto de lo que entendamos por función como de lo que entendamos por polinomio.
Por ejemplo, podemos pensar en una función como una colección de pares ordenados $(x, f(x))$ independientemente de cómo se exprese la función.
Aquí no se indica qué tipo de objeto matemático $x$ es - para este propósito asumiré $x$ es un número real.
Entonces la función definida por la primera expresión también tiene una expresión como polinomio en cualquier subconjunto de su dominio de definición (que excluye $x=0$ ). También como función $\mathbb R\setminus \{0\} \to \mathbb R$ se puede extender a una función representada por un polinomio en $x=0$ . Pero la expresión que te dan no es un polinomio.
Probablemente estos tecnicismos no se refieren a su contexto y pueden parecer demasiado pedantes, pero a veces es importante distinguir entre una función y cómo se expresa. A veces, una función no puede expresarse bien en todo su dominio, pero se puede remendar a partir de trozos bonitos (aquí se puede reparar fácilmente en $0$ ). A veces, esto se puede hacer de tal manera que se puede aprovechar la belleza de las piezas. Y otras veces, la belleza de las piezas sugiere un punto de vista diferente que es matemáticamente más simple (la esfera de Riemann, que representa el plano complejo con la adición de un punto en el infinito, es un ejemplo).
Andreé Ríos
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