$(\Box p \wedge \Box q) \rightarrow \Box(p\wedge q)$ es válido en K. Pero $(\Diamond p \wedge \Diamond q) \rightarrow \Diamond(p\wedge q)$ no lo es.
No estoy seguro de cómo sería un marco que valide $(\Diamond p \wedge \Diamond q) \rightarrow \Diamond(p\wedge q)$. Me pregunto si $\Diamond$ se reduce a $\Box$ en dicho sistema. Agradecería cualquier ayuda al respecto.
Intuitivamente, $$\mbox{"$(\Diamond p\wedge\Diamond q)\rightarrow\Diamond(p\wedge q)$ es válido"}$$ dice que nunca puedo dividir los mundos que veo en dos piezas diferentes (no vacías): si pudiera, consideraría hacer que $p$ sea verdadero y $q$ falso en la mitad de la partición y $p$ falso y $q$ verdadero en la otra mitad de la partición.
Entonces supongamos que $\mathfrak{F}$ es un marco que valida $(\Diamond p\wedge\Diamond q)\rightarrow\Diamond(p\wedge q)$; ¿cuántos mundos puede ver cada mundo en $\mathfrak{F}$?
Ningún mundo en $\mathfrak{F}$ puede ver más de un mundo.
De hecho, es fácil mostrar que esta es una caracterización exacta.
Gracias. ¿Es la idea que si un mundo viera más de un mundo, entonces sería posible dividir esos mundos en dos piezas diferentes y no vacías? Además, ¿$\Diamond p$ implica $\Box p$ en ese caso? Me parece que sí, porque si $p$ es verdadero en un mundo que veo, entonces es verdadero en todos los mundos que veo.
@eyet Sí a ambos. Sin embargo, tenga en cuenta que estos marcos no validan $\Box p\rightarrow\Diamond p$, por lo que $\Diamond$ es estrictamente más fuerte que $\Box$ en esta clase de marcos!
Nuevamente, gracias. ¿El motivo por el cual no se valida $\Box p \rightarrow \Diamond p$ es porque tales marcos permiten mundos que no ven nada, en cuyo caso si $p$ es verdadero en w que no ve nada, entonces $\Box p$ sería (trivialmente) verdadero en w pero $\Diamond p$ no lo sería?
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