Mostrar $f$ es constante si $|f(x)-f(y)|\leq (x-y)^2$.

Question

Problema: Deje que $f$ se defina para todo el $x$ real, y supongamos que

$$|f(x)-f(y)|\le (x-y)^2$$

para todos los $x$ y $y$ reales. Demuestre que $f$ es constante.

Fuente: W. Rudin, Principios de Análisis Matemático, Capítulo 5, ejercicio 1.

Answer 1

Para cualquier $x\in\mathbb{R}$, $$ \begin{align} |f'(x)| &=\lim{h\to0}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{|h|}\ &\le\lim{h\to0}\frac{h^2}{|h|}\ &=0 \end{align} $$ Por lo tanto, $f$ es constante.

Answer 2

Aquí hay una prueba más elemental.

Vamos $c=f(0)$, tenemos que demostrar que $f(x)=c$ siempre que $x\neq0$. Suponiendo que $n$ es un entero positivo arbitrario, tenemos $$\left|f\left(\frac{m+1}nx\right)-f\left(\frac mnx\right)\right|\le\left(\frac{m+1}nx-\frac mnx\right)^2=\frac{x^2}{n^2}$$ Por lo tanto \begin{align} |f(x)-f(0)| \;&=\;\left|\,\sum{m=0}^{n-1}\left(f\left(\frac{m+1}nx\right)-f\left(\frac mnx\right)\right)\,\right|\ &\le\;\sum{m=0}^{n-1}\,\left|f\left(\frac{m+1}nx\right)-f\left(\frac mnx\right)\right|\ &\le\;\frac{x^2}n \end{align} Sea $n\to\infty$, tenemos $|f(x)-f(0)|=0$, por lo tanto $f(x)=c$.

Answer 3

Basta con mostrar que $f'(x)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Vemos que la condición dada implica

$$\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \le |x-y|.$$

Entonces, en un $\delta$-vecindad de $x$, el cociente en la definición de la derivada es menor que $\delta$. Así que el límite es 0, y hemos terminado.