¿Cómo generar un vector aleatorio que garantice estar dentro de la semiesfera con respecto a otro vector?

Question

Dado un vector normalizado N ¿cómo se puede generar un vector de dirección aleatorio que esté garantizado en el hemisferio con respecto a N (es decir, el hemisferio donde N está exactamente en el centro)? La forma en que estoy haciendo esto es muestrear un vector de dirección al azar d y dot con N y mantener ese vector si el dot el producto es mayor que 0 . Este método no garantiza la generación de un vector en el hemisferio que me interesa, ya que el ~50% de los vectores aleatorios tendrían un 0 o negativo dot resultado del producto.

He visto en algún sitio que hay una forma de transformar el vector generado aleatoriamente d para colocarlo en el hemisferio derecho utilizando una matriz de transformación, pero no sé cómo hacerlo. ¿Puede alguien escribir un [pseudo]código de cómo se genera un vector de dirección utilizando el método de transformación?

Answer 1

En este caso, puedes generar aleatoriamente $d$ y si no se encuentra en el hemisferio derecho, porque $d \cdot N < 0$ , reemplazar $d$ por $-d$ .

Answer 2

Para responder a su pregunta de seguimiento de los comentarios: Si está en 3D, tenemos el conveniente hecho de que el $z$ La coordenada de un punto aleatorio en la esfera unitaria está distribuida uniformemente. Así, si se toma $z\sim U(\cos\theta,1)$ , $\phi\sim U(0,2\pi)$ , $r=\sqrt{1-z^2}$ entonces $\left(r\cos\phi,r\sin\phi, z\right)$ es un punto aleatorio de la esfera dentro de $\theta$ radianes del positivo $z$ -eje.

Transformar esto para estar dentro de $\theta$ radianes de $N$ multiplicarlo por una matriz ortonormal cuya última columna es $N$ . (En otras palabras, aplicar la transformación $(x,y,z)\mapsto(xV,yW,zN)$ donde $V$ y $W$ son vectores unitarios ortogonales a $N$ y entre sí).